高考倒计时：掌握这些三角形解题技巧

高考倒计时：掌握这些三角形解题技巧

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来源

1.

https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/139384063

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https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/139431557

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https://www.zxxk.com/soft/49386975.html

4.

https://www.contdesign.com/k12/13426.html

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http://www.360doc.com/content/24/1030/17/83544406_1138048285.shtml

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https://m.fx361.cc/news/2024/0927/24683623.html

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https://afterschool.com.hk/blog/440-dse-maths-%E9%A4%98%E5%BC%A6-%E6%AD%A3%E5%BC%A6-%E5%85%AC%E5%BC%8F/

8.

http://www.lubanyouke.com/64786.html

高考数学中，三角形相关的题目一直是必考内容，而且常常以解答题的形式出现，分值较高。掌握好三角形的解题技巧，对于提高数学成绩至关重要。本文将重点介绍三角形最值问题的解题方法，以及正弦定理和余弦定理的应用技巧，帮助大家在高考中轻松应对这类题目。

三角形最值问题通常涉及边长、角度、周长或面积的最值求解。这类问题综合性较强，需要灵活运用正弦定理、余弦定理以及不等式等知识。以下是三种常用的解题方法：

1. 利用基本不等式

基本不等式是解决最值问题的有力工具。在三角形中，我们常常需要先用正余弦定理将目标式转化为边长或角度的表达式，然后再利用基本不等式求解。

例题1：已知ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosAcosB+sinAsinB=2cb，且b=3，求ΔABC的周长l的最大值。

解析：

1. 由正弦定理可得sinCsinB=cb，而cosAcosB+sinAsinB=2cb
2. 所以cosAcosB+sinAsinB=cosAsinB+cosBsinAcosBsinB=sin（A+B）cosBsinB=2sinCsinB
3. 因为sin（A+B）=sinC≠0，sinB≠0，所以cosB=12
4. 在ΔABC中，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac
5. 所以（a+c）2=9+3ac≤9+3（a+c2）2
6. 即a+c≤6
7. 所以l=a+b+c≤9，当且仅当a=b=c=3时取等号
8. 所以ΔABC的周长l的最大值为9

2. 利用三角函数的性质

当问题涉及角度的最值时，可以考虑将目标式转化为三角函数的形式，然后利用三角函数的有界性和单调性求解。

例题2：设函数f（x）=sin（12x+π6）+1。在ΔABC中，∠A、∠B、∠C对应的边分别为a、b、c。若a=6，且f（2A）+2cos（B+C）=1，求b+c的取值范围。

解析：

1. 由f（2A）+2cos（B+C）=1可得A=π3
2. 在ΔABC中，由正弦定理可得bsinB=csinC=asinA=6sinπ3=43
3. 所以b=43sinB，c=43sinC
4. 所以b+c=43（sinB+sinC） =43[sinB+sin（2π3-B）]=12sin（B+π6）
5. 因为0<B<2π3，所以π6<B+π6<5π6
6. 则当B+π6=π2，即B=π3时，sin（B+π6）取得最大值
7. 当B+π6=π6，即B=0时，sin（B+π6）=12
8. 所以sin（B+π6）∈（12，1]，则b+c∈（6，12]

3. 建立坐标系

对于一些几何性质较强的题目，可以考虑建立平面直角坐标系，将问题转化为代数问题求解。

例题3：在ΔABC中，AB=2，AC=2BC，求该三角形面积的最大值。

解析：

1. 以AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）
2. 设点C（x，y），由AC=2BC，得（x+1）2+y2=2（x-1）2+y2
3. 即（x-3）2+y2=8（x≠±1），故点C的轨迹是以点（3，0）为圆心，半径为22的圆
4. C到x轴的最大距离为半径22
5. 则ΔABC面积的最大值为S=12×2×22=22

正弦定理和余弦定理是解三角形的两大利器，熟练掌握它们的使用方法对于解决各类三角形问题至关重要。

1. 正弦定理

正弦定理适用于以下情况：

• 已知两角和一边
• 已知两边和其中一边的对角

公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC

例题4：在ΔABC中，∠A=45°，∠C=75°，BC=12，求AC的长度。

解析：

1. ∠B = 180° - 45° - 75° = 60°
2. 由正弦定理得：12/sin12 = B/sin60
3. AC = 6√6

2. 余弦定理

余弦定理适用于以下情况：

• 已知三边
• 已知两边和夹角

公式：c² = a² + b² - 2ab*cosC

例题5：在ΔABC中，已知a=7，b=9，c=8，求cos∠A。

解析：
cos∠A = (9² + 8² - 7²) / (2 * 9 * 8) = 2/3

在解决复杂的三角形问题时，往往需要综合运用多种技巧。以下是一些实用的解题策略：

1. 边角互化：根据题目条件，灵活选择使用正弦定理或余弦定理，将边的关系转化为角的关系，或将角的关系转化为边的关系。

2. 构造辅助线：在一些几何问题中，适当添加辅助线可以简化问题，如作高、中线、角平分线等。

3. 利用特殊三角形的性质：如直角三角形、等腰三角形、等边三角形的特殊性质，可以简化计算。

4. 数形结合：将代数关系与几何图形相结合，直观地分析问题。

5. 化繁为简：对于复杂的表达式，尝试化简或转化，使之更易于处理。

掌握这些解题技巧后，还需要通过大量的练习来巩固和提高。建议大家多做高考真题和模拟题，熟悉各种题型的变化，培养解题的灵活性和应变能力。同时，要注意总结错题，分析错误原因，避免重复犯错。

最后，解三角形题目虽然有一定的难度，但只要掌握了正确的方法，就能轻松应对。希望大家通过本文的学习，能够在高考中取得优异的成绩！