涛哥教你用中考真题提升函数能力
涛哥教你用中考真题提升函数能力
从一道中考真题说起
让我们先来看一道典型的中考二次函数题目：
已知抛物线 (y = x^2 - 2x + c) 的部分图象如图所示。
- 求 (c) 的取值范围。
- 若抛物线经过点 ((0, -1))，试确定抛物线的解析式。
- 若反比例函数 (y_2 = \frac{k}{x}) 的图象经过（2）中抛物线上点 ((1, a))，请在同一坐标系中画出该反比例函数及抛物线的图象，并利用图象比较 (y_1) 与 (y_2) 的大小。
第1问：求 (c) 的取值范围
由图象可知，抛物线开口向上且与 (x) 轴有两个交点，说明方程 (x^2 - 2x + c = 0) 有两个不等实根。因此判别式需满足：
[
\Delta = (-2)^2 - 4c > 0 \
4 - 4c > 0 \
c < 1
]
同时，由于顶点在 (x) 轴下方，(c) 必须大于等于顶点的纵坐标最小可能值，即 (c \geq 0)。综上，(c) 的取值范围是：
[
0 \leq c < 1
]
第2问：确定抛物线解析式
将点 ((0, -1)) 代入 (y = x^2 - 2x + c) 得：
[
-1 = 0^2 - 2 \cdot 0 + c \
c = -1
]
因此，抛物线的解析式为：
[
y = x^2 - 2x - 1
]
第3问：比较 (y_1) 与 (y_2) 的大小
首先，找到反比例函数的表达式。将点 ((1, a)) 代入抛物线解析式得：
[
a = 1^2 - 2 \cdot 1 - 1 = -2
]
所以，点 ((1, -2)) 在反比例函数 (y_2 = \frac{k}{x}) 上，代入解得：
[
-2 = \frac{k}{1} \
k = -2
]
故反比例函数为：
[
y_2 = -\frac{2}{x}
]
通过画图观察两函数图象的交点和位置关系，可以得出：
- 当 (x < -1) 或 (0 < x < 1) 或 (x > 2) 时，(y_1 > y_2)；
- 当 (x = -1) 或 (x = 1) 或 (x = 2) 时，(y_1 = y_2)；
- 当 (-1 < x < 0) 或 (1 < x < 2) 时，(y_1 < y_2)。
二次函数基础知识点
二次函数的一般形式为 (y = ax^2 + bx + c)，其中 (a)、(b)、(c) 为常数，且 (a \neq 0)。其图像是一条抛物线，具有以下重要特征：
开口方向：由系数 (a) 决定。当 (a > 0) 时，抛物线开口向上；当 (a < 0) 时，抛物线开口向下。
顶点坐标：顶点是抛物线的最高点或最低点，坐标为 (\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right))。
对称轴：抛物线关于直线 (x = -\frac{b}{2a}) 对称。
零点：即方程 (ax^2 + bx + c = 0) 的解，决定了抛物线与 (x) 轴的交点。
解题技巧
图像法
通过绘制函数图像，直观地观察最值。步骤如下：
- 将二次函数化为顶点式 (a(x-h)^2 + k)。
- 根据顶点坐标和开口方向绘制图像。
- 观察图像确定最值。
配方法
将二次函数化为顶点式，步骤如下：
- 将函数表达式配方成 (a(x-h)^2 + k) 的形式。
- 确定最值：当 (x = h) 时，函数取得最值 (k)。
公式法
直接使用公式求最值：
- 开口向上 ((a > 0)) 时，最小值为 (y = \frac{4ac - b^2}{4a})。
- 开口向下 ((a < 0)) 时，最大值为 (y = \frac{4ac - b^2}{4a})。
中考常见题型
动点问题：涉及动点在坐标平面内的运动规律，需要建立函数模型来理解其变化形态。
最值问题：求解二次函数的最大值或最小值，常用于解决实际问题中的优化问题。
图像交点问题：分析二次函数与其他函数（如反比例函数）的交点，比较函数值的大小。
实践应用
二次函数在实际生活中有着广泛的应用：
物理学：描述物体的运动轨迹，如抛体运动的最大高度和最远距离。
工程学：设计桥梁、建筑物等结构，保证其安全性和稳定性。
经济学：分析市场供求关系，计算最大利润或最小成本。
掌握二次函数不仅能帮助你应对中考，更能为将来的学习和生活奠定坚实的数学基础。通过不断练习和应用，相信你一定能在这个领域取得优异的成绩！