中考数学：掌握尺规作图的五大技巧！

中考数学：掌握尺规作图的五大技巧！

尺规作图是中考数学中的重要考点，也是许多同学感到头疼的难点。掌握好尺规作图的基本技巧，不仅能帮助我们在考试中轻松应对相关题目，还能培养我们的空间想象能力和动手操作能力。本文将为大家详细讲解尺规作图的五大基本技巧，并结合具体题目演示如何运用这些技巧解决问题。

1. 作一条线段等于已知线段

步骤：

1. 用直尺画一条射线AB
2. 用圆规量取已知线段a的长度
3. 在射线AB上截取AC=a
4. 线段AC即为所求

2. 作一个角等于已知角

步骤：

1. 画射线OA
2. 以O为圆心，任意长为半径画弧，交∠α的两边于点P、Q
3. 以A为圆心，同样长为半径画弧，交OA于点M
4. 以M为圆心，PQ长为半径画弧，交前弧于点N
5. 连接AN并延长，∠NAM即为所求

3. 作已知角的平分线

步骤：

1. 以O为圆心，任意长为半径画弧，交∠AOB的两边于点M、N
2. 分别以M、N为圆心，大于MN一半的长为半径画弧，两弧交于点P
3. 连接OP，OP即为∠AOB的平分线

4. 经过一点作已知直线的垂线

步骤：

1. 若点P在直线AB上：

   • 以P为圆心，任意长为半径画弧，交直线AB于点M、N
   • 分别以M、N为圆心，大于MN一半的长为半径画弧，两弧交于点Q
   • 连接PQ，PQ即为所求垂线

2. 若点P在直线AB外：

   • 以P为圆心，适当长为半径画弧，交直线AB于点M、N
   • 分别以M、N为圆心，大于MN一半的长为半径画弧，两弧交于点Q
   • 连接PQ，PQ即为所求垂线

5. 作线段的垂直平分线

步骤：

1. 分别以线段AB的两端点A、B为圆心，大于AB一半的长为半径画弧，两弧在AB两侧分别交于点M、N
2. 连接MN，MN即为线段AB的垂直平分线

让我们通过一道中考真题来演示如何运用上述基本技巧解决问题。

题目：
如图，在△ABC中，AB=AC。以AB为直径的圆O交AC边于点D。过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F。连接BD。
（1）求证：BD=BF；
（2）若AB=10，CD=4，求BC的长。

解题思路：

1. 分析题目条件和目标
2. 运用基本作图技巧构造辅助线
3. 应用几何定理证明和计算

解题步骤：

第1问：证明BD=BF

方法一：

• 分析条件

  • CF∥AB，因此∠ABF + ∠BFC = 180°（同旁内角互补）。
  • AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。
  • BF是圆O的切线，故∠ABF = 90°。

• 证明过程

  • 因为CF∥AB，所以∠ABC = ∠BCF（两直线平行，内错角相等）。
  • 在△BCD和△BCF中，有：
    • ∠BCD = ∠BCF（已证），
    • BC是公共边，
    • ∠BDC = ∠BFC = 90°（直径所对的圆周角为直角，且BF是切线）。
  • 根据AAS判定定理，可得△BCD≌△BCF。
  • 故BD=BF。

方法二：

• 构造辅助线
  过点C作CH⊥AB于H，则四边形BFCH为矩形。

• 证明过程

  • 在矩形BFCH中，BF=CH。
  • S_△ABC = (AB·CH)/2 = (AC·BD)/2，又因为AB=AC，所以CH=BD。
  • 综上，BD=BF。

第2问：计算BC的长

• 利用勾股定理

  • 已知AB=10，CD=4，因为AB=AC=10，所以AD=AC-CD=6。
  • 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
    BD² + AD² = AB²，即BD² + 6² = 10²。
    解得BD=8。

• 进一步求解BC

  • 在Rt△BCD中，再次应用勾股定理：
    BC² = BD² + CD² = 8² + 4² = 64 + 16 = 80。
    所以BC = √80 = 4√5。

综上所述，BC的长度为4√5。

1. 保持工具的准确性：圆规要调准长度，直尺要保持平直
2. 作图要清晰规范：线条要轻但清晰，关键点要准确标记
3. 注意作图顺序：先作基础图形，再逐步添加辅助线
4. 熟练掌握基本技巧：五大基本作图方法要烂熟于心
5. 多做练习：通过大量练习提高作图准确性和解题效率

尺规作图不仅是一种技能，更是一种思维训练。通过掌握这些基本技巧，我们不仅能更好地应对中考数学，还能培养自己的空间想象能力和逻辑思维能力。希望大家通过不断练习，能在考试中取得好成绩！