高中数学：数列-解数列不等式问题的常用放缩技巧（重难点）

高中数学：数列-解数列不等式问题的常用放缩技巧（重难点）

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/139929952

数列不等式是高中数学中的一个重要内容，而放缩法是解决这类问题的常用技巧。本文将通过具体例题，详细介绍两种主要的放缩技巧，并总结数列不等式放缩的一般原则。

一、放缩技巧

技巧1

例题
证明：Sn＜1

解题思路
首先尝试从第一项开始放缩，但发现无法精确到3/4。这时，可以尝试从第二项开始放缩，如果还不行，再从第三项开始，以此类推，直到找到合适的放缩方式。

总结
已知前两项和为1/4 + 1/9 = 13/36。如果将题目改为证明S_n < 23/36，那么放缩就需要从第三项开始。

技巧2

在技巧1的基础上，通过提高放缩的精确度来解决更复杂的不等式问题。这里主要利用平方差公式进行放缩。

例题解析
遇到含有两个不等号的情况，需要分别证明。对于左边的不等号，可以采用技巧1的方式；而对于右边的不等号，需要采用更精确的放缩方式。

分析原因
在技巧1中，误差是一个n，即n^2 > n*(n-1) = n^2 - n。为了减小误差，可以利用平方差公式，将表达式写成两项乘积的形式，从而使用裂项求和法。

放缩方案
可以采用以下两种放缩方式：

1. 4/(4n^2) < 4/(4n^2 - 1) = 4/((2n-1)(2n+1))
2. 1/n^2 < 1/(n^2 - 1) = 1/((n-1)(n+1))

这两种放缩方式都可以解决第二个不等号，其核心都是利用平方差公式来减小误差范围。

总结
通过比较不同放缩方式的精确度，可以发现4/(4n^2 - 1)距离1/n^2更近，因此这个放缩更精确。

从第二项开始放缩：

二、数列不等式放缩原则

1. 提高放缩通项公式的精确度。
2. 从后几项开始放缩。