高考数学必备：平面向量快速入门

高考数学必备：平面向量快速入门

引用

CSDN

等

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来源

1.

https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/139288352

2.

https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/139140827

3.

https://www.sohu.com/a/853413364_121124288

4.

http://www.cc518.com/article.php?id=35724

5.

http://www.360doc.com/content/24/1001/10/37095263_1135480773.shtml

6.

http://www.360doc.com/content/24/0504/13/75938435_1122314242.shtml

7.

https://m.qidian.com/ask/qurkgosamos

在高考数学中，平面向量是一个重要的知识点，它不仅单独出现在选择题和填空题中，还经常与解析几何、三角函数等知识结合，出现在解答题中。本文将带你从零开始，轻松掌握平面向量的基本概念、表示方法以及常用公式。

平面向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示。向量的大小称为模，向量的方向由起点指向终点。向量可以用字母表示，如 (\vec{a})、(\vec{b}) 等，也可以用起点和终点的字母表示，如 (\overrightarrow{AB})。

向量的表示方法主要有三种：

1. 几何表示法：用带箭头的线段表示，箭头指向表示方向，线段长度表示大小。
2. 坐标表示法：在平面直角坐标系中，向量可以用终点坐标减去起点坐标得到的有序实数对表示，如 (\vec{a} = (x, y))。
3. 字母表示法：用小写字母上面加箭头表示，如 (\vec{a})、(\vec{b})。

向量之间的关系：

• 相等向量：方向相同且长度相等的两个向量。
• 相反向量：方向相反且长度相等的两个向量。
• 平行向量：方向相同或相反的两个向量。

加法

向量的加法遵循三角形法则或平行四边形法则。若有两个向量 (\vec{a}) 和 (\vec{b})，它们的和 (\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}) 可以通过首尾相连的方式得到，结果是从起点指向终点的向量。

减法

向量的减法可以看作加上一个反向的向量。例如，(\vec{a} - \vec{b}) 相当于 (\vec{a} + (-\vec{b}))。几何上，这表示从 (\vec{b}) 的终点指向 (\vec{a}) 终点的向量。

数乘

实数 (k) 与向量 (\vec{a}) 的乘积 (k\vec{a}) 是一个新向量，其大小为原向量的 (|k|) 倍，方向取决于 (k) 的正负。

数量积（点积）

两个向量 (\vec{a}) 和 (\vec{b}) 的数量积定义为 (\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta)，其中 (\theta) 是两向量夹角。结果是一个标量，反映两向量在同方向上的投影关系。

向量积（叉积）

两个向量 (\vec{a}) 和 (\vec{b}) 的向量积 (\vec{a} \times \vec{b}) 是一个垂直于二者构成平面的新向量，大小等于两向量围成平行四边形的面积，即 (|\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta)，方向由右手定则确定。

例题1：数量积运算

已知 (\overrightarrow{OA} = \vec{a})，(\overrightarrow{OB} = \vec{b})，(\overrightarrow{OC} = \vec{c})，且 (\vec{a} \cdot \vec{b} = 0)，(|\vec{a}| = 3)，(|\vec{b}| = 4)，求 (\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b})) 的值。

解析：
由题意知，(\vec{a}) 和 (\vec{b}) 垂直，因此可以建立直角坐标系，设 (\vec{a} = (3, 0))，(\vec{b} = (0, 4))。设 (\vec{c} = (x, y))，则
[
\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = (x, y) \cdot (3, 4) = 3x + 4y
]
由于没有给出 (\vec{c}) 的具体值，无法进一步计算，但解题思路是将向量用坐标表示，然后利用数量积的定义进行计算。

例题2：坐标运算

在四边形ABCD中，已知 (\overrightarrow{AB} = (1, 2))，(\overrightarrow{BC} = (3, 4))，(\overrightarrow{CD} = (5, 6))，求 (\overrightarrow{DA}) 的坐标。

解析：
由向量加法的性质可知，(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0})，因此
[
\overrightarrow{DA} = -(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) = -(1+3+5, 2+4+6) = (-9, -12)
]

例题3：建坐标系法

在等边三角形ABC中，D是BC的中点，E是AC的中点，F是AD的中点，求 (\overrightarrow{EF}) 的坐标。

解析：
以D为原点，DB为x轴，DA为y轴建立直角坐标系。设等边三角形的边长为2，则
[
B(1, 0)，C(-1, 0)，A(0, \sqrt{3})
]
因此
[
E(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})，F(0, \frac{\sqrt{3}}{2})
]
所以
[
\overrightarrow{EF} = (\frac{1}{2}, 0)
]

1. 坐标化思想：将几何问题转化为代数问题，利用向量的坐标表示和运算来解决。

2. 基底思想：在平面内选择两个不共线的向量作为基底，将其他向量用这两个基底表示。

3. 数形结合：充分利用向量的几何意义和代数性质，将几何直观与代数计算相结合。

4. 特殊化策略：在选择题和填空题中，可以适当选取特殊位置、特殊图形来简化计算。

5. 注意向量的方向：在进行向量运算时，一定要注意向量的方向，不要弄反。

通过以上内容的学习，相信你已经掌握了平面向量的基本概念和运算方法。在高考中，平面向量的题目往往需要灵活运用这些知识，因此建议多做练习，熟练掌握各种题型的解法。祝你在高考中取得好成绩！