一次性讲清楚基本运算律（快为你家小学生收藏）
一次性讲清楚基本运算律（快为你家小学生收藏）
小学学到的运算律是交换律、结合律、分配律。它们非常重要，从现在开始，它们就要频繁使用在计算里了。所以，孩子们必须理解透彻。
一、交换律
说交换律之前，我们要先说"相等"。等号，在数学中到底有什么样的意义呢？孩子们会遇到比大小的题目。比如说4+7与9+2谁大？这里是要填"="的。那么相等意味着计算的结果相同吗？4+7=11，9+2也等于11。11与11相同，所以是相等的——这是我们普通意义上的理解。其实，还有更深一层的意思。一个数与另外一个数相等，就意味着它们在数轴上的点是重合的。
明白了这点，我们才好往下证明交换律。现在：
1+5+6=12
6+1+5=12
我们把数字交换了位置，计算的结果是相同的。我们就可以说加法有交换律吗？不，这是先验的经验，不叫数学证明。我们要假设任意数，a.b.c都符合。看下面的数轴演示。无论是a+b+c，还是a+c+b，交换位置后，最终在数轴上重合了（这里我们不能说相等了，因为没有明显的像11一样的表象相同）。如此，我们才说加法符合交换律。我们设的是ABC是任意数。小学课本上ABC是自然数。小学的数系只到自然数、分数、小数，基本上在正数的范畴内运算。我们都知道还有负数，无理数、超越数……那么，交换律对于这些数也是成立的。拿负数举例子。看下面的数轴演示。无论我先加哪个数，最后的结果在数轴上都是重合的。其实减法，加减混合，除法也是符合交换律的（最直观的你可以弄几个数试一试）。只是我们不这样说。到初中数系扩展之后，我们把前面带减号的都称为负数，负数之间的运算本质上也是加法运算。一个定理的表达要简洁、覆盖更多的范围。如果单说加法交换律，就能够把很多事情统一起来的话，我们就不需要引入其他的概念了。说的太多，小学生是非常容易迷糊的。到中学数系扩展之后会，会给学生们演示：
- 负数也符合交换律、
- 代数式也符合交换律、
- 无理数也符合交换律……
- 甚至到高中后：
- 虚数也符合交换律，
- 向量也符合交换律。
结合律、分配律都是如此。只要是在有限的范围内，都适用。（无无限数列不适用）
到这里总结一下：
- 我们通过设任意数，在数轴上演示的方法，证明了加法交换律。
- 在数系扩展后很多的数都符合交换律，因为所有数的运算基本上都可以转化为加法的运算。
好，下面我们说乘法交换律。乘法交换律很好说。因为乘法就是加法——乘法是重复的加。既然是重复的加，无非就是多加几次，本质上是一样的。所以，乘法交换律不需要特别证明。如果想给孩子讲的话，可画一个长方形。它的边长是6和3。用长乘以宽和用宽乘以长，它的面积还是这个面积。这样很简洁。或者，你就在数轴上演示3个6和6个3（a个b与b个a），最后是重合的。
二、结合律
加法和乘法都有结合律。
- 加法的结合律，其实多了一个优先级。
- a+b+c=a+（b+c）
- 也就是说给b和c加一个括号，整体算式的优先级变了。先计算b+c。没有关系，在数轴上演示一下。优先级换了后，其实就是计算顺序变了。顺序变了，跟加法交换律换一换位值没有太大区别（说法上的不同）。然而，在实际应用上造成的结果却很不一样。
68+53+47=168
68+（53+47）=168
计算简便程度不同。
- 乘法结合律本质上还是加法结合律——乘法就是重复的加。乘法加上括号后，也是改变了优先级。比如a×b×c与a×（b×c），从先算a×b换成了先算b×c。那么a个b与b个c，先算哪个，在数轴上的结果都是重合。不再演示。区别还是计算的简便度。
另外，我们用长方体演示一下（方便你给孩子讲解）。一个长方体的体积是长×宽×高。那我们翻转一下长方体，宽和高就变成了长和宽，长就变成了高——结合律的体现。这一种方式比较适合给孩子说，但不是严格的结合律证明。另外，减法和除法有结合律吗？通常123-64-36，我们可以写成123-（64+36）使计算简便，但我们不说这是减法的结合律。有的人叫它减法的性质，同理还有除法的性质。
比如600÷2÷5，可以写成600÷（2×5）。换成实际的例子是：
- 一棵树上有123个苹果，第一次摘64个，第二次摘36个，还剩几个。我们可以算一共摘了几个，再用总数去减——123-（64+36），也可以一个一个减——123-64-36。
- 一共有600个饼，分给两个班的同学，每个班有5个人，每个人分几个。可以先分给班级，再分给同学——600÷2÷5，也可以先算两个班一共多少学生，再算每个人分多少个——600÷（2×5）。
仔细揣摩一下，这也是结合律的体现，前面我们说过，所有运算本质上都是加法。只是太麻烦了，我们不这样说。这一点我们知道就行，在今后的运算中，会悟出来的。
小结一下：
- 加法和乘法结合律，用上括号后只不过是优先级变了，在加法范畴了先算哪部分不影响结果。
- 减法除法也可以用结合律，只是我们不这么说，因为太过麻烦，离本真太远不容易参透。
三、分配律
加法为什么没有分配律了？只有乘法有？看下面这个图，求长方形的面积。上图演绎了分配律。它在加法里，不这样表达——每个小正方形的面积是1，用加法就是反复加。所以，只有乘法，才有这样的表达。
分配律是乘法基于加法的延伸。用长方形、正方形演示都可以。还可以用乘法的本质来说明。25×（4＋8）=25×4＋25×8这里一共有12个25相加，我们可以4个25加上8个25.按照这样的方式理解，分配律反过来正过来你都能用。而且25×（15-7）你也知道如何分配。15个25，减去7个25.这就是学习为什么要抓住底层原理——能帮你触达更多。还有，除法有分配律吗？有。（600-400）÷2=（600-400）×½——可用乘法分配律。（600＋400）÷2=（600＋400）×½——可用乘法分配律。不过，还是那句话，中间还需要倒腾一步，不难为孩子们。孩子们只需要记住加法、乘法交换律、结合律，乘法分配律。将来的，将来再说。
小结一下：
- 乘法分配律是延伸，用几何方法，用乘法本质都可以帮孩子进一步理解。
- 除法也有分配律，只是没必要单独提了。
四、目的
到这里，我们来说一下，使用运算律的目的是什么。为了简便。小学现在叫简便运算，我们使用的北师大版本，内容量不大，但是使用运算律，主要演练场景和计算诉求还是【简便】。在这一点人教版的重视程度更高一些。到初中、高中要使用代数式推理演绎。那么长的代数式你如何理顺它、让它显现出【端倪】、方便你解题或者方便你解决实际问题？使用运算律。到时候不止有基础运算律，还有跟其他公式的配合使用。所以，本质上就是为了方便，这一点跟孩子讲清楚。