圆在任意光滑曲线上的内外摆线的方程及其推导

圆在任意光滑曲线上的内外摆线的方程及其推导

临近开学了，这几天时间把近段时间的一些“研究成果”分享一波，主要是记录给自己看的，望以后仍能被自己的这份热忱所震惊。

最近看到一个有趣的视频：
Desmos连这也能画？用Desmos画动态摆线
另附上一个类似的应用视频：
圆在抛物线上滚
该视频绘制了一个圆在任意光滑曲线上滚动时，圆上一点的轨迹(摆线)，相较于圆在直线上滚动，圆在圆上滚动的两种类型而言是一波拓展！
ps:之前写过圆在直线上滚动以及圆在圆上滚动的专栏，可参考：
美丽的摆线及其数学原理
而坐标系的美妙之处在于将“数”与“形”完美地进行了融合，推导这美丽的曲线对应的解析式是极其有趣滴，于是下面对一般的光滑曲线情况的摆线方程进行推导~
繁琐公式输出警告！！！吃瓜者可以直接跳至"程序分享"部分

正文

设光滑曲线的参数方程为：
不妨先考虑"逆转90°"时的情况
具体而就是沿着参数t增大的方向，切向量
与由切点指向圆心的法向量
构成右手标架(右手系)的情况

记切点为P，圆心为O₁
将切向量
逆时针旋转90°得：
再将该法向量乘以一个伸缩因子
，使得模长化为r(r为圆的半径)
ps:具体可分为先除以向量本身的模(伸缩至单位向量)，再乘以r，即伸缩至模长=原半径
记圆心为O₁，则有：
从而得到圆心轨迹的参数方程：
如果
构成的是左手系，则将法向量方向反向即可，即
对此，我们引入一个参数
来表示这里的+-号，即
当
构成右手系时，c₁取1，反之则取-1
求完了圆心的轨迹方程，下面再来求摆线的方程
用回上图：

我们将法向量调转方向，即换为由圆心O₁指向切点P
当切点P由参数取t0的位置运动至参数取t1的位置时，所滚过的弧长为：
则圆上一点相对于切点转过的弧度为：
于是我们对由圆心O1指向切点P的法向量进行旋转(以下是逆时针旋转的情况)：
旋转后的向量记作
，其模长仍等于圆半径r(由于旋转不改变大小)，方向由圆心指向参考点(也即所求的摆线质点)，如下图的紫色箭头所示：
ps:注意，这是个示意图，这种情况下应该顺时针转的，不过不论是顺时针旋转还是逆时针旋转，旋转后的向量方向均由圆心指向所求点
为了区别逆时针和顺时针，于是再引入参数
来表示旋转方向：
当旋转方向为逆时针时，c2取1，否则取-1
再根据三角函数的奇偶性：sin(-x)=-sinx;cos(-x)=cosx知，sin里边的正负号可以提前，即：
于是有：
整理坐标即可得到摆线的参数方程：
其中
来个应用例子：
圆在对数函数y=lnx上滚动时的摆线
此时取的曲线参数方程为
取圆在对数函数曲线下方，
构成右手系，于是c1取1；
圆顺时针旋转，于是c2取-1
圆在二次函数y=x^2上滚动时的摆线
此时取的曲线参数方程为
取圆在二次函数曲线下方，
构成左手系，于是c1取-1；
圆逆时针旋转，于是c2取1
拓展，我们还可以拓展到圆上任意一点的轨迹
我们可以把向量
乘以一个比例系数
，则可以拓展到该条直径上的任意一点
以二次函数曲线的为例：
也可以再在旋转角
的基础上加一个角
，这样就能遍历圆上的所有点了。
作了以上两个修改后拓展的轨迹方程：
其中
程序分享
好了，终于讲人话了...下面是笔者用desmos制作的程序，将以下链接复制到网页版即可进行调试：https://www.desmos.com/calculator/f3bndfdv8t?lang=zh-CN
玩法介绍：
打开的主页面长这个亚子：
第一个文件夹：
这个相信不难明白，就是取曲线的参数方程以及上下限以绘制出一条光滑的曲线(注意观察选取的曲线保证是光滑，否则连可导性都出问题的话后面会伴随着一堆bug)
第二个文件夹：
圆的半径不用多说，c1取决于正向切向量(指向t增大方向的切向量)与"由切点指向圆心的"法向量构成的标架，右手系则c1取+1，左手系则c1取-1
c2取决于动圆的旋转方向，逆时针则c1取+1，顺时针则c1取-1
k是用于前文提及的伸缩向量u(调动可遍历该直径上的点)
b是前文的参数β(因为desmos似乎没有希腊字母作为可调控参数所以用b替代了)，调动可遍历该圆周上的点
k和b不好解释，建议自行调试观察参考点的位置
第三个文件夹就是作图的元素了，大部分构造原理已经在前文提及，这里就不再赘述了。
放在菜单中的m是主参数，通过拖动该滑块就可以显示动画了
其他相关的几个知识(浅作补充)
一、曲率和曲率半径
对于滚动的情况，有的时候会出现圆“塞不下”的情况，比如上面的在二次函数上滚动的gif中，若换成是在该抛物线内部滚动，则可能出现“越界”的情况：
那么半径r要在哪个范围才不会“越界”呢？
这时候就得用到“曲率和曲率半径”的相关知识了
由于篇幅原因，这里就只列出公式了(参数方程的形式)：
有向曲率：
有向半径：
其中
至于正负也就取决于正向切向量与指向凹侧的法向量构成的标架(右手系时为正，左手系时为负)，加个绝对值就是对应的曲率和半径
比如对于二次函数
，取参数方程：
，代入以上的公式得：
，当且仅当t=0时取等
这意味着滚动过程中“最弯”的地方能容下的曲率圆半径为1/2。这说明只要r<1/2，那么就可以“不越界”地在抛物线内部滚动
二、方程初等的充要条件——弧长解析
要能求出解析式，最关键的是要求弧长
解析。这是个变限积分，那么也等价于不定积分
初等
这里列举几个初等例子
抛物线
：
弧长对应的不定积分
初等。考虑令2kx=sinht
结果：
对数曲线
：
弧长对应的不定积分
初等。
考虑令x=sinht
结果：
当然，desmos作图本身采用的是数值解的情况，因此对于不初等的很多情况也不必担心，照样可以数值作图，只要动点不要弄太多就没问题
其他的有趣动画，且待下回制作~