陶哲轩高徒破解组合数学难题，23年未解之谜终获突破
陶哲轩高徒破解组合数学难题，23年未解之谜终获突破
2024年，数学界迎来了一项重大突破：加州大学洛杉矶分校（UCLA）研究生James Leng与麻省理工学院（MIT）数学研究生Ashwin Sah及哥伦比亚大学助理教授Mehtaab Sawhney合作，首次取得了几十年未解的组合数学难题的重大突破。这一成果不仅推进了对算术级数的理解，还为解决更广泛的数学难题提供了新的思路和技术。
一个困扰数学界23年的难题
这一突破聚焦于组合数学中的一个经典问题——塞迈雷迪定理的进一步研究。塞迈雷迪定理由2012年阿贝尔奖得主、匈牙利数学家塞迈雷迪·安德烈于1975年证明，其中说到：若一个整数集A具有正的自然密度，则对任意的正整数k，都可以在A中找出一个包含k项的等差数列。所谓具有正自然密度，就是当n趋于无穷时，A与1,2,…,n这个数列的交集中元素个数与n的比值大于0。
这个理论的猜想由两名匈牙利数学家埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）和图兰·帕尔（Turán Pál）在1936年提出。显然对于k=1和2的情况，这个结论毫无疑问是成立的，k=3的情况则在1953年由英国数学家克劳斯·罗特证明。到了1969年，塞迈雷迪用组合数学方法证明了k=4的情况，直到最终证明该结论对任意k均成立。
后来，又有数学家利用遍历理论、傅里叶分析等其他方法证明了这一结论。这也让陶哲轩为之感慨，还把该定理的众多证明称为“罗塞塔石碑”，因为它们连结了几个乍看起来完全不同的数学分支。
但总之，塞迈雷迪定理的证明并不是一个终点，而且还开启了新的讨论。塞迈雷迪定理还有另一种表述形式——若在正整数1-N中取一个子集，使得对于某一k值，在该子集中找不到长度为k的等差数列；则当N趋近于无穷时，该子集的大小r_k(N)与N的比值趋近于0。不过这个比值趋近于0的速度究竟是怎样的，仍然是一个未知数，也就成了后续这几十年的研究课题。
突破性的研究进展
2022年，正在加州大学洛杉矶分校（UCLA）读研二的James Leng开始研究起了高尔斯的理论。不过他脑海里的是高尔斯提出的几个技术问题，并没有想到塞迈雷迪定理。一年很快过去，小冷没有得到任何成果，但他的研究引起了小萨和索哥的注意。他们意识到，小冷的研究可能有助于在塞迈雷迪定理上取得进一步进展。于是三位年轻的数学家走到了一起，并在几个月之内就想出了k=5时更精确的上界。直到今年，三人又把这一结论推广到了k为任意取值的情况，成为了23年以来在这个问题上最重大的突破。
证明的核心在于应用了高尔斯U^(k+1)范数的逆定理，这是一个与傅里叶分析相关的高级工具，它提供了一种衡量函数在某种意义上接近于零的方法。该逆定理也是由三人发现的，用了足足100页的论文进行阐述。其中指出，如果一个函数在范数意义上足够大，那么它必然与某些具有特定结构的序列相关联，这些序列在数学上被称为“结构性对象”。
利用这个逆定理，作者们将问题从原始的整数集合，转移到了具有特定代数结构的nilmanifolds流形上。通过深入分析这些流形上的nil序列，作者们实现了对这些序列在整数集合上变化的控制。然后，他们通过对集合进行分解并运用密度增量策略，逐步增加不包含k项等差数列的子集密度，直到达到某一阈值或无法继续增加。经过迭代这个过程，作者们证明了存在一个足够大的子集，其密度远高于之前的结果，实现了k=5时结论向着更高k值的推广。
三位天才数学家的强强联手
三位作者中，James Leng目前就读于加州大学洛杉矶分校（UCLA），师从菲尔兹奖得主陶哲轩。他的主要研究方向是算术组合学、动力系统和傅里叶分析。
而小萨（Ashwin Sah）和索哥（Mehtaab Sawhney）都是MIT副教授赵宇飞的学生。小萨其人，不可谓不是一位“天才少年”。他是2016年国际奥林匹克数学竞赛（IMO）金牌得主，2018年还获得过首届阿里巴巴全球数学竞赛银奖。刚上大一，小萨就跑去听了赵宇飞研究生级别的组合数学课。这迅速引起了赵宇飞的注意：尽管他只是大一的学生，但很显然，他已经掌握了这门课程。就在本科期间，小萨已经有20多篇数学论文在手——并且他只用了两年半时间就从MIT本科毕业了。其中，还包括在拉姆齐数方面的重大突破：给出了拉姆齐数的新上限，被认为是“使用现有研究线索可以获得的最佳结果”。
索哥（Mehtaab Sawhney）比小萨高一年级，他同样在本科期间就参与了赵宇飞的组合数学课程。打从本科起，索哥和小萨就是彼此的科研搭子，关系密切到索哥主页列出的70篇论文里，有60篇都带小萨的名字。而导师赵宇飞在本科时对他俩的评价就是：（MIT）的本科生研究有着悠久的历史和传统，但在论文的质量和数量上，都达不到Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。目前，索哥已经率先博士毕业，获得了哥伦比亚大学的教职，还在今年年初被任命为克莱研究员。
这一突破性成果充分展示了年轻数学家的创新能力和合作精神。正如赵宇飞所说：“他们的非凡之处在于总能理解极具技术挑战的事物并加以改进。很难用语言概括他们的整体成就。”
开启数学研究的新篇章
这一突破不仅解决了组合数学领域的一个长期难题，更为未来的研究开辟了新的方向。通过引入先进的数学工具和创新的思维方式，三位年轻数学家为解决更复杂的数学问题提供了新的思路。这一成果不仅体现了数学研究的深度和广度，也展示了年轻一代数学家的才华和潜力。随着人工智能等新技术的不断发展，我们有理由相信，未来的数学研究将取得更多令人瞩目的成就。