上海中考压轴题：垂径定理解题技巧大揭秘！

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https://m.sohu.com/a/829247723_500680/?pvid=000115_3w_a

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https://wenwen.sogou.com/z/q142434525.htm

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https://www.163.com/dy/article/IVNRG5J60553H33C.html

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https://github.com/arzyu/rime-wubi98/blob/master/wubi98.dict.yaml

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https://m.douyin.com/share/note/7357330169528356135

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https://sx.zxxk.com/m/books-v296/

垂径定理是圆几何中的重要定理，由古希腊数学家欧几里得提出，最早记载于《几何原本》。该定理及其推论为解决圆的相关问题提供了关键依据。

垂径定理指出：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

• 推论一：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
• 推论二：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
• 推论三：在同圆或等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。

一条直线若满足以下条件中的任意两个，则其余三个条件也成立：

1. 平分弦所对的优弧；
2. 平分弦所对的劣弧；
3. 平分弦本身（弦不是直径）；
4. 垂直于弦；
5. 经过圆心。

以定理的基本形式为例，设在⊙O中，直径DC垂直于弦AB于点E，需证AE=EB，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。通过连接OA、OB，利用等腰三角形性质和圆的特性可完成证明。

例如，在求解与弦长、弧长或半径相关的问题时，可通过构造辅助线（如连接圆心到弦的端点），结合勾股定理或其他几何知识来解决问题。

让我们通过一个具体的上海中考压轴题来展示垂径定理的应用。

题目：

如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N，若AB=20cm，CD=16cm，求| AM-BN |的值。

解题思路：

1. 首先观察到AB是直径，CD是弦，且AM和BN都垂直于CD，这提示我们可能需要利用垂径定理。
2. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此我们可以过圆心O作CD的垂线，设垂足为H，则CH=DH=CD/2=8cm。
3. 在直角三角形OHC中，已知OC=半径=AB/2=10cm，CH=8cm，可以利用勾股定理求出OH的长度。
4. 由于AM和BN都垂直于CD，可以考虑通过相似三角形或等面积法来求解AM和BN的差值。

详细解答：

1. 过圆心O作CD的垂线，垂足为H，则CH=DH=8cm。
2. 在直角三角形OHC中，OC=10cm，CH=8cm，根据勾股定理：
   [
   OH = \sqrt{OC^2 - CH^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6cm
   ]
3. 连接ON交AM于F，可以证明三角形ONB全等于三角形OFA，因此BN=AF。
4. 由于OE是三角形NFM的中垂线，所以MF=2OE。
5. 已知OE=6cm，因此MF=12cm。
6. 因为BN=AF，所以| AM-BN |的值等于MF，即12cm。

通过这个题目，我们可以看到垂径定理在解决圆的相关问题时的重要作用。在解题过程中，我们需要灵活运用垂径定理、勾股定理以及相似三角形的性质，通过构造辅助线来简化问题，最终找到解题的关键。

1. 识别垂径定理的适用条件：当题目中出现直径与弦的垂直关系时，应立即联想到垂径定理。
2. 构造辅助线：通过作垂线或连接圆心与弦的端点，可以创造应用垂径定理的条件。
3. 结合其他几何知识：垂径定理往往需要与其他定理（如勾股定理、相似三角形等）结合使用，才能完整解决问题。
4. 注意特殊情况：当弦为直径时，垂径定理的结论不成立，需要特别注意。

通过以上分析和实例，我们可以看到垂径定理在中考压轴题中的重要应用。掌握垂径定理及其解题技巧，不仅能帮助考生在考试中取得高分，还能培养他们的逻辑思维能力。在备考过程中，建议学生多做相关练习，熟练掌握垂径定理的各种应用场景，提高解题效率。