高考数学：巧用相交弦定理解决几何难题

高考数学：巧用相交弦定理解决几何难题

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https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/144169887

2.

https://blog.csdn.net/Brave_heart4pzj/article/details/139384063

3.

https://blog.csdn.net/duiwangxiaomi/article/details/138277969

4.

https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/18393707

在高考数学中，相交弦定理是一个重要的几何工具，它能够帮助我们快速解决与圆相关的线段长度问题。今天，我们就来看看如何巧妙运用相交弦定理，解决一些看似复杂的几何难题。

相交弦定理指出：如果两条弦在圆内相交，则其中一条弦被交点分成的两部分之积等于另一条弦被交点分成的两部分之积。用几何语言描述即：若圆内的任意弦AB和CD相交于点P，则有 PA·PB = PC·PD。

例题1：圆恒过定点问题

题目：已知圆C经过点A(2,0)和B(0,2)，且圆心在直线y=x上。求证：圆C恒过定点，并求出该定点的坐标。

解析：

1. 首先，由于圆心在直线y=x上，我们可以设圆心坐标为(a,a)。
2. 根据圆的定义，圆心到圆上任意一点的距离相等，即半径相等。因此，我们有：
   AC = BC
   即：√[(a-2)² + a²] = √[a² + (a-2)²]
3. 化简上式，得到：a² - 4a + 4 + a² = a² + a² - 4a + 4
   这说明a可以取任意值，即圆心可以在直线y=x上任意移动。
4. 接下来，我们利用相交弦定理。设圆C与x轴的另一个交点为D(x,0)，与y轴的另一个交点为E(0,y)。根据相交弦定理，我们有：
   OA·OD = OB·OE
   即：2·x = 2·y
   得到：x = y
5. 由于D和E都在圆上，且OD = OE，说明D和E关于直线y=x对称。因此，D和E的坐标可以表示为(x,x)。
6. 将D(x,x)代入圆的方程，得到：
   (x-2)² + x² = (x-0)² + (x-2)²
   化简得到：x² - 4x + 4 + x² = x² + x² - 4x + 4
   这说明x可以取任意值，即D和E可以在坐标轴上任意移动，但始终保持x=y。
7. 因此，圆C恒过定点(0,0)。

这个例子展示了如何利用相交弦定理结合圆的性质，解决圆恒过定点的问题。关键在于通过定理建立线段之间的关系，进而推导出定点的存在。

例题2：弦长定值问题

题目：已知抛物线y=x²+mx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,1)。求证：过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值。

解析：

1. 首先，求出A、B两点的坐标。令y=0，得到方程x²+mx-2=0。设A(x1,0)、B(x2,0)，则x1和x2是方程的两个根。
2. 根据韦达定理，我们有：
   x1 + x2 = -m
   x1·x2 = -2
3. 设过A、B、C三点的圆与y轴的另一个交点为D(0,y)。根据相交弦定理，我们有：
   OA·OB = OC·OD
   即：|x1|·|x2| = 1·|y|
   得到：|y| = 2
4. 因此，D点的坐标为(0,2)或(0,-2)。所以，圆在y轴上截得的弦长为|CD| = |2-1| = 3或|-2-1| = 3，即弦长为定值3。

这个例子展示了如何利用相交弦定理解决弦长定值问题。关键在于通过定理建立线段之间的关系，进而推导出弦长的定值。

1. 相交弦定理只适用于圆内相交的弦，不适用于圆外或圆上的情况。
2. 在应用定理时，要注意线段的顺序和方向，确保乘积的正确性。
3. 定理可以推广到圆锥曲线中，但需要根据具体情况进行适当的转换和应用。

通过以上例题，我们可以看到，相交弦定理在解决与圆相关的几何问题时，确实是一个非常实用的工具。它不仅能够帮助我们快速找到解题的突破口，还能简化计算过程，提高解题效率。在备考过程中，建议同学们多加练习，熟练掌握这个定理的应用技巧。