阶乘末尾零：编程竞赛必考题！

阶乘末尾零：编程竞赛必考题！

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来源

1.

https://blog.csdn.net/qq_51980838/article/details/137475731

2.

https://blog.csdn.net/zxozxo4/article/details/44340747

3.

https://blog.csdn.net/LUyan10086/article/details/140432720

4.

https://blog.csdn.net/DDDDWJDDDD/article/details/137476479

5.

https://wenku.csdn.net/answer/655c4eff0f994fd9a988ef0dccbaddb4

6.

https://leetcode.cn/problems/factorial-trailing-zeroes/

7.

https://www.cnblogs.com/apachecn/p/18352666

8.

https://www.cnblogs.com/yyyyxh/p/18468085/huce

9.

https://www.cnblogs.com/apachecn/p/18138290

在编程竞赛和算法面试中，计算阶乘末尾零的个数是一个常见的问题。例如，给定一个正整数n，如何快速计算n!（n的阶乘）末尾有多少个零？这个问题看似简单，实则蕴含着深刻的数学原理。本文将为你详细解析这个问题的解法，并提供代码实现。

阶乘的定义很简单：n! = 1 × 2 × 3 × ... × n。例如，5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120。

为什么需要计算末尾零的个数？在很多编程竞赛题目中，这个问题经常作为考察选手数学思维和算法实现能力的试金石。例如，LeetCode上的第172题就是专门考察这个知识点。

要计算n!末尾零的个数，关键在于理解零是如何产生的。一个零的产生需要一个因子2和一个因子5。由于在阶乘中，因子2的数量通常远多于因子5，因此问题转化为计算因子5的个数。

具体步骤如下：

1. 计算5的倍数：首先计算n以内5的倍数的个数。例如，对于25!，有5、10、15、20、25共5个5的倍数。

2. 考虑高阶倍数：注意像25、125这样的数，它们包含多个因子5。例如，25 = 5 × 5，125 = 5 × 5 × 5。因此，需要额外计算这些高阶倍数。

3. 累加结果：将所有计算得到的因子5的个数累加起来，就是末尾零的个数。

基于以上分析，我们可以得到如下的算法步骤：

1. 初始化计数器为0
2. 当n大于等于5时，重复执行：
   • 将n除以5，向下取整，得到商
   • 将商加到计数器中
   • 将n更新为商
3. 返回计数器的值

用Python实现这个算法：

def trailingZeroes(n):
    count = 0
    while n >= 5:
        n //= 5
        count += n
    return count

用C++实现：

int trailingZeroes(int n) {
    int count = 0;
    while (n >= 5) {
        n /= 5;
        count += n;
    }
    return count;
}

让我们通过一个具体例子来演示计算过程。以25!为例：

1. 第一次计算：25 ÷ 5 = 5，得到5个因子5
2. 第二次计算：5 ÷ 5 = 1，得到1个额外的因子5（来自25）
3. 累加结果：5 + 1 = 6

因此，25!末尾有6个零。

通过以上分析，我们发现计算阶乘末尾零的个数的关键在于统计因子5的个数。这个方法不仅适用于具体的数字，还可以推广到任意正整数n。

为了巩固理解，建议尝试以下练习：

1. 计算100!末尾零的个数
2. 实现一个函数，输入一个正整数n，输出n!末尾零的个数
3. 思考为什么只需要考虑因子5，而不需要考虑因子2

掌握这个技巧，不仅能帮助你在编程竞赛中轻松应对相关题目，还能提升你的算法思维能力。希望本文能为你提供清晰的思路和实用的代码示例。