快速计算阶乘末尾零的数量，你get了吗？

快速计算阶乘末尾零的数量，你get了吗？

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来源

1.

https://blog.csdn.net/LUyan10086/article/details/140432720

2.

https://blog.csdn.net/qq_51980838/article/details/137475731

3.

https://blog.csdn.net/weixin_58063872/article/details/136872427

4.

https://leetcode.cn/problems/count-special-integers/

5.

https://zh.wikipedia.org/wiki/J%E8%AF%AD%E8%A8%80

6.

https://www.progressingeography.com/CN/10.18306/dlkxjz.2024.02.006

7.

https://www.cnblogs.com/apachecn/p/18352666

8.

https://www.cnblogs.com/apachecn/p/18351174

在数学竞赛或编程面试中，你可能会遇到这样的问题：计算100!（100的阶乘）末尾有多少个零。这个问题看似简单，但直接计算100!显然是不现实的，因为数字太大了。那么，有没有什么巧妙的方法可以快速得到答案呢？

答案是：100!的末尾有24个零。

要理解这个答案，我们首先需要明白一个数的末尾零是如何产生的。一个数末尾的每个零都对应着一个因数10。而10可以分解为2和5的乘积。因此，要计算末尾零的数量，实际上就是要计算这个数可以分解出多少对2和5。

但是，在大多数情况下，因数2的数量总是远远多于因数5的数量。例如，在1到100的整数中，能被2整除的数有50个，而能被5整除的数只有20个。因此，因数5的数量成为了决定末尾零数量的关键因素。

让我们详细分析一下100!中因数5的数量：

1. 首先计算100以内能被5整除的数的数量：
   [ \left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor = 20 ]
   这意味着有20个数至少包含一个因数5。

2. 但是有些数包含不止一个因数5，比如25、50、75和100。我们需要额外计算这些数：
   [ \left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor = 4 ]
   这意味着有4个数至少包含两个因数5。

3. 更高的幂次（如125、625等）在100以内没有出现，因此不需要考虑。

将这些结果相加，我们得到：
[ 20 + 4 = 24 ]

因此，100!的末尾有24个零。

对于任意正整数n，其阶乘末尾零的个数可以通过以下公式计算：
[ \text{零的个数} = \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{125} \right\rfloor + \cdots ]
其中，(\left\lfloor x \right\rfloor)表示不超过x的最大整数。

这个方法不仅适用于小数字，也适用于大数字如1000! 或者更高。例如，计算1000!末尾零的数量：
[ \left\lfloor \frac{1000}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{125} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{625} \right\rfloor = 200 + 40 + 8 + 1 = 249 ]

为了巩固这个技巧，你可以尝试计算以下数字阶乘末尾零的数量：

1. 50!
2. 200!
3. 500!

掌握了这个技巧后，你还可以尝试解决一些更复杂的问题，比如：

1. 如何快速计算一个数的阶乘的位数？
2. 如何计算一个数的阶乘中某个特定数字（如1、2、3等）出现的次数？

通过这些练习和思考，你将能够更深入地理解阶乘的性质，为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。