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阶乘末尾零的秘密：你真的了解吗？

创作时间:

作者:

@小白创作中心

阶乘末尾零的秘密：你真的了解吗？

引用

CSDN

等

来源

https://blog.csdn.net/qq_45638953/article/details/137263042

https://blog.csdn.net/zxozxo4/article/details/44340747

https://blog.csdn.net/LUyan10086/article/details/140432720

https://blog.csdn.net/xzh_csdn_123456/article/details/136988848

https://www.sohu.com/a/855060325_120991886

https://blog.csdn.net/tang7mj/article/details/139657489

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%98

https://zh-cn.statisticseasily.com/%E8%AF%8D%E6%B1%87%E8%A1%A8/%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%98%AF%E9%98%B6%E4%B9%98-%E6%B7%B1%E5%85%A5%E4%BA%86%E8%A7%A3%E9%98%B6%E4%B9%98/

https://www.cnblogs.com/yyyyxh/p/18468085/huce

计算从1乘到25的结果末尾有几个零？答案可能比你想象的更有趣。

为什么会出现末尾零？

在数学中，一个数末尾的零是由因子2和因子5配对产生的。因为10 = 2 * 5，每一对2和5的乘积都会在结果的末尾添加一个零。例如，10的阶乘（10!）可以分解为：

10! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10
= 1 * 2 * 3 * (2^2) * 5 * (23) * 7 * (2^3) * 9 * (25)
= 2^8 * 5^2 * (其他因子)

从分解结果可以看出，10!中有两对2和5，因此末尾有两个零。但是，为什么我们只需要关注因子5的数量呢？

关键在于因子5

在任何阶乘中，因子2的数量总是远多于因子5。这是因为每两个连续的数中就至少有一个是偶数（即包含因子2），而每5个连续的数中才有一个是5的倍数。因此，末尾零的数量实际上由因子5的数量决定。

如何计算因子5的数量？

以25的阶乘为例，我们可以通过以下步骤计算因子5的数量：

首先计算25以内5的倍数的数量：
25 / 5 = 5
这意味着有5个数（5, 10, 15, 20, 25）至少包含一个因子5。
但是我们不能忘记25本身是5的平方，它包含了两个因子5。因此，我们需要再次计算25以内25的倍数的数量：
25 / 25 = 1
这意味着有1个数（25）至少包含两个因子5。
将这些结果累加起来：
5 + 1 = 6

因此，25的阶乘末尾有6个零。

推广到一般情况

对于任意正整数n，其阶乘末尾零的数量可以通过以下公式计算：
零的个数 = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...

其中，⌊x⌋表示不超过x的最大整数。这个公式背后的原理是：我们首先计算n以内5的倍数的数量，然后计算25的倍数的数量（因为它们至少包含两个因子5），然后是125的倍数的数量（因为它们至少包含三个因子5），依此类推。

实践应用：编程实现

这种方法不仅在数学上有趣，在编程中也十分实用。以下是一个简单的Python代码示例，用于计算任意阶乘末尾零的数量：

def trailing_zeros_in_factorial(n):
    count = 0
    while n >= 5:
        n //= 5
        count += n
    return count

# 测试代码
print(trailing_zeros_in_factorial(25))  # 输出：6

这个函数通过不断除以5并累加商来计算因子5的数量，完美地实现了我们的计算方法。