三角函数诱导公式
三角函数诱导公式
三角函数是高中数学的重要内容，包括两角和差公式、倍角公式、半角公式、诱导公式以及正弦定理等。这些公式在数学、物理等领域的计算中有着广泛的应用。本文将详细介绍这些三角函数公式及其应用。
三角函数公式集合
1. 两角和差公式
两角和（差）公式包括两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变形的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。
正弦两角和差：
$$sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ$$
$$sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ$$余弦两角和差：
$$cos(α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ$$
$$cos(α-β) = cosαcosβ+sinαsinβ$$正切两角和差：
$$tan(α+β) = \frac{(tanα+tanβ)}{(1-tanαtanβ)}$$
$$tan(α-β) = \frac{(tanα-tanβ)}{(1+tanαtanβ)}$$
2. 倍角公式
倍角公式，是三角函数中非常实用的一类公式。就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。
正弦倍角：
$$sin2α = 2sinαcosα$$余弦倍角：
$$cos2α = cos^{2}α-sin^{2}α$$
$$= 2cos^{2}α-1$$
$$= 1-2sin^{2}α$$正切倍角：
$$tan2α = \frac{2tanα}{1-tan^{2}α}$$
3. 半角公式
半角公式（Half angle formula）是利用某个角（如∠A）的正弦值、余弦值、正切值，及其他三角函数值，来求其半角的正弦值，余弦值，正切值，及其他三角函数值的公式。
正弦半角：
$$sin(\frac{α}{2}) = \sqrt{\frac{1-cosα}{2}}$$余弦半角：
$$cos(\frac{α}{2}) = \sqrt{\frac{1+cosα}{2}}$$正切半角：
$$tan(\frac{α}{2}) = \sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$$
4. 诱导公式
诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式，诱导公式有六组，共54个。
符号规律：
$$sin(-α) = -sin(α)$$
$$cos(-α) = cos(α)$$
$$tan(-α) = -tanα$$π/2 - α规律：
$$sin(\frac{\pi}{2}-α) = cos(α)$$
$$cos(\frac{\pi}{2}-α) = sin(α)$$
$$tan(\frac{\pi}{2}-α) = cot(α)$$π/2 + α规律：
$$sin(\frac{\pi}{2}+α) = cos(α)$$
$$cos(\frac{\pi}{2}+α) = -sin(α)$$
$$tan(\frac{\pi}{2}+α) = -cot(α)$$π + α规律：
$$sin(\pi+α) = -sin(α)$$
$$cos(\pi+α) = -cos(α)$$
$$tan(\pi+α) = tan(α)$$π - α规律：
$$sin(\pi-α) = sin(α)$$
$$cos(\pi-α) = -cos(α)$$
$$tan(\pi-α) = -tan(α)$$2kπ + α规律：
$$sin(2k\pi+α) = sin(α)$$
$$cos(2k\pi+α) = cos(α)$$
$$tan(2k\pi+α) = tan(α)$$
注意 k 不能为 0，所以上方的π + α不符合此规律。
正弦定理
正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$