排列组合中你必须掌握的21种题型和技巧
排列组合中你必须掌握的21种题型和技巧
排列组合是数学中的一个重要知识点,也是学习中的难点。本文总结了21种解题技巧,通过韩老师的详细讲解和重点提示,帮助读者更好地理解和掌握排列组合问题。
排列组合考什么?考的就是技巧!!以及各种技巧的综合应用!今天我们就来看看都有哪些技巧,是不是有好多都是你不知道的呢?
技巧1. 相邻问题捆绑法
👉韩老师技巧点拨:如果问题中要求相邻的几个元素必须要相邻,则我们可以先将要相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列!
重点敲黑板:记得最后别忘了要“松绑”哦!!😜
技巧2. 不相邻问题用插空法
👉韩老师技巧点拨:元素不相邻(即相离)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把要求相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
重点敲黑板:记得算空位时要算上两端哦!!😜
技巧3. 定序问题用消序法
👉韩老师技巧点拨:如果在排列问题中,限时某几个元素必须保持一定的顺序,也就是说这几个元素顺序一定,那我们可以除以这几个元素的全排列,从而达到消序的效果!
重点敲黑板:只有顺序一定或已确定时才能用消序哦!!😜
技巧4. 错位问题用分步法
👉韩老师技巧点拨:错位问题是指问题要求所有元素不能排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入它能排到时位置上,,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成!
重点敲黑板:每个元素排列时要注意不同情况下要分类讨论哦!!😜
技巧5. 有序分配问题用逐分法
👉韩老师技巧点拨:有序分配问题指把元素分成若干组,再进行分配,可用逐步下量分组法先分组再分配!
重点敲黑板:一定要切记,组数相同时要消序哦!!😜
技巧6. 全员分配问题用分组法
👉韩老师技巧点拨:全员分配问题可所有元素先分成所序的堆,然后每一堆作为一个整体,再进行分配!
重点敲黑板:一定要切记,组数相同时要消序哦!!😜
技巧7. 相同元素分配问题用隔板法
👉韩老师技巧点拨:相同元素的分配问题,可以看成用隔板将元素分成所需的份数,然后再进行分配!如果要将n个相同元素分配给m个元素,隔板法的计算公式是:Cᵐ⁻¹ₙ₋₁
重点敲黑板:一定要切记,相同元素分配问题才能用隔板法哦!!😜
技巧8. 限制条件的分配问题用分类法
技巧9. 多元问题用分类法
👉韩老师技巧点拨:多个特殊元素排列时,要以其中最主要的一个元素的排列情况进行分类讨论,一定要注意分类时要“符合要求”且“不重不漏”!
重点敲黑板:多个特殊元素分类时,要注意如果一个元素的排位对另一元素的排位有影响时,要以一个元素占不占另一元素的位置分类讨论!!😜
技巧10. 交叉问题用集合法
👉韩老师技巧点拨:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式n(AUB)=n( A)+n( B)-n( AnB)
技巧11. 定位问题用优先法
👉韩老师技巧点拨:某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素!
重点敲黑板:多个特殊元素分类时,要注意如果一个元素的排位对另一元素的排位有影响时,要以一个元素占不占另一元素的位置分类讨论!!😜
技巧12. 多排问题用单排法
👉韩老师技巧点拨:把元素排成几排的问题可归结为排成一排求解,虽然形式不一样,但他们的方法数是完全一样的!
重点敲黑板:多排问题不用烦,看成一排解大难!!😜
技巧13. “至少”“至多”问题用间接排除法
👉韩老师技巧点拨:“至多”、“至少”问题一般都有两种做法,要么直接分类完成,如果直接分类发现分类较多,这时我们可以考虑用总的方法数减去不满足条件的情况数!
重点敲黑板:用间接法求解时,我们是算出了不满足条件的方法数,切记最后要用总的方法数去减哦!!😜
技巧14. 选排问题用先取后排法
👉韩老师技巧点拨:从几类元素中取出符合题意的几个元素,再要求安排到给定的位置上的问题,可用先取后排法.!
技巧15. 小集团问题用先整体后局部法
👉韩老师技巧点拨:如果在一个问题中,有部分元素形成一个小的有特殊要求的团体,我们可以先排好整个团体,然后捆绑起来当一个元素和整个问题中其他元素进行排列,然后再内部排列!
技巧16. 圆排问题用线排法
👉韩老师技巧点拨:把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时钟)不同的排法才算不同的排列,而顺序相同(即旋转一下就可以重合)的排法认为是相同的,它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分,在圆排列中只算一种,因为旋转后可以重合,故认为相同,可将某个元素固定展成线排,其它的n-1元素全排列.故n个元素的圆排列数(n-1)!种.
重点敲黑板:n个元素的圆排列数为(n-1)!种哦!!😜
技巧17. 可重复问题用住店法
👉韩老师技巧点拨:住店法是解决重复问题的特殊技巧,在问题中,一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,方法数则为“店”的“客”次方!
重点敲黑板:切记住店法要注意区分两类元素,一类可重复,一类不可重复!😜
技巧18. 复杂排列组合问题用构造模型法
👉韩老师技巧点拨:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可使问题容易解决!
技巧19. 元素个数较少的排列组合问题用枚举法
👉韩老师技巧点拨:元素个数较少的排列组合问题,可以考虑用枚举法,一一列举出来再去数,也是一种不错的方法哦!
技巧20. 复杂的排列组合问题也可用分解与合成法
👉韩老师技巧点拨:分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略!
重点敲黑板:复杂问题分解时要注意分解的严密性与完整性哦!!😜
技巧21. 陌生题型问题用间对应思想转换法
👉韩老师技巧点拨:对应思想转换是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的或者陌生的问题转化为简单或者熟悉的模型来处理!
重点敲黑板:用间接法求解时,我们是算出了不满足条件的方法数,切记最后要用总的方法数去减哦!!😜
排列组合历来是学习中的难点,通过我们平时做的练习题,不难发现排列组合题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化,举一反三,触类旁通,进而为后续学习打下坚实的基础。