线性代数：矩阵的四子大子空间 之 “零空间”
线性代数：矩阵的四子大子空间 之 “零空间”
在线性代数中，矩阵的零空间是一个核心概念，它描述了矩阵作为线性变换时将哪些向量映射到零向量。本文将从齐次线性方程组的解空间出发，逐步阐述零空间的定义、性质及其与矩阵行空间的关系，帮助读者深入理解这一重要概念。
1、一个齐次线性方程组的所有解，形成一个向量空间
对于一个齐次线性方程组Ax = O来说，它的所有的解中每一解都是向量，那么把这些向量(齐次线性方程组的解)集合在一起形成一个空间，其实这个空间是一个向量空间。
这个结论可以证明如下：
对于一个齐次线性方程组Ax = O，它一定有解，因为至少会存在一个零解，所以它的所有解形成的空间不可能为空。
Case 1：当这个齐次线性方程组只有唯一零解的时候，意味着它的解形成的空间只有一个零向量，此时这个空间的维度为0，空间内向量的加法和数量乘法满足封闭性，是一个向量空间，很容易得证。
Case 2：当这个齐次线性方程组有无数解的时候，求证它的解形成的空间是向量空间:
假设这个齐次线性系统的系数矩阵A是一个m×n的矩阵，那么它的每个解都是一个n维向量(有序实数元组)。如果这些解形成的空间是向量空间，则一定是n维空间(欧几里得空间Rn是向量空间)的子空间。
所以当证明齐次线性方程组的解形成的空间是n维欧几里得空间的子空间，就说明它是一个向量空间。
只需证明这个空间对向量加法和数量乘法封闭
(1)证明空间对向量加法封闭
假设向量u和v是齐次线性方程组Ax = O的两个解
就有A·u = O, A·v = O → A·u + A·v = O；
进而可得A·(u + v) = O；
上式子意味着两向量u，v的和(u + v)也是这个齐次线性方程组的解;
因此对于齐次线性方程组的解形成的空间内任意取两个向量u和v，u + v还是在这个空间内，所以该空间对向量加法封闭
(2)证明空间对向量的数量乘法封闭
假设向量u是齐次线性方程组Ax = O的一个解
就有A·u = O, 这个等式两边同乘以一个实数k，可得k·A·(u + v) = k·O = O；
改写后可得A·(ku) = O；
上式子意味着向量ku也是这个齐次线性方程组的解;
因此对于齐次线性方程组的解形成的空间内任意取一个向量u，那么这个u乘以任何一个实数k，结果ku还是在这个齐次线性方程组的解形成的空间内，所以该空间对数量乘法封闭。
综上，一个齐次线性方程组的所有解，形成一个向量空间得证
2、矩阵的零空间
零空间：一个齐次线性方程组的所有解，形成一个向量空间，称这个空间为"零空间 (Null Space)"。
对于一个矩阵A来说，它的零空间就是以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax = 0中，这个线性系统所有的解x组成的空间就是矩阵A的零空间。
零空间是矩阵的一个特殊的子空间,矩阵的零空间相比矩阵的行空间和列列空间要更加抽象，因为对于一个矩阵的行空间和列空间，我们可以直观的看到生成它们的就是这个矩阵的行向量和列向量，然后因为这些行向量和列向量可能线性相关，所以往往需要通过特殊的计算手段(对矩阵进行高斯消元求算矩阵的秩)来获得行空间和列空间的具体维度，进而能找到空间的一组基。相比之下，生成一个矩阵的零空间的向量，需要通过求解齐次线性方程组Ax = 0来获取。
对零空间的一些理解
对于线性系统Ax = O，所有的x组成的空间是零空间。
如果把矩阵看成是向量的转换函数，那么对于等式Ax = O,其中系数矩阵A就可以看成是一个转换函数，零空间是一个集合，集合内的所有向量在A的变换下，都可以被映射到零点！
如果把矩阵看成是空间，那么就有零空间内任意向量和矩阵A的行向量的点乘结果为0！
进一步推广，因为矩阵A的行空间内的任意向量都由矩阵的行向量的线性组合所表示(如w = k1u + k2v)，而零空间内任意向量和矩阵A的行向量的点乘结果为0，就有x·w = k1u·x + k2v·x = 0，所以可以得出结论"对于零空间内的任意向量，和矩阵A的行空间的任意向量的点乘结果为0"这个结论其实表面，零空间内的所有向量，和矩阵 A 的行空间中的所有向量是垂直 ( 正交 ) 的。
三维空间中二维空间 ( 平面 ) 和一维空间 ( Line ) 的正交情况
如果是对于两个平面(二维欧式空间)，它们在三维空间内是不可能正交的，它们只可能在四维空间中出现正交。
总结
矩阵A的零空间
把A看作是系统:A的零空间，就是Ax = 0中，所有x组成的空间。
把A看作是函数(变换):A的零空间，所有被A变化为0点的所有向量组成的空间。
把A看作是空间:A的零空间，是和A的行空间正交的向量空间。