高考涂色难题，学霸教你轻松破解

高考涂色难题，学霸教你轻松破解

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1.

https://blog.csdn.net/qq_30016869/article/details/124217199

2.

https://blog.csdn.net/weixin_46147758/article/details/103923829

3.

https://blog.csdn.net/2301_79704526/article/details/139548552

4.

https://blog.csdn.net/weixin_34234823/article/details/93645122

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/617904729

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https://www.bilibili.com/video/BV1JH4y1k76c/

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https://www.douyin.com/zhuanti/7304937505390987302

8.

https://www.bilibili.com/video/BV1Gr421t7hk/

涂色问题在高考数学中是一个既有趣又具挑战性的专题，它不仅考察学生的逻辑思维能力，还涉及排列组合等知识点。本文将为你详细介绍涂色问题的常见类型、解题技巧，并通过典型例题帮助你轻松掌握这一专题。

涂色问题主要分为三类：区域涂色、点的涂色和线段涂色。每种类型都有其特定的解题方法。

区域涂色

区域涂色问题通常要求对若干个区域进行着色，且相邻区域颜色不能相同。解这类问题时，我们常采用分类讨论的方法，根据使用颜色的数量进行分类。

例题1：用5种颜色给4个区域涂色，每区域一种颜色，相邻区域颜色不同，求涂色方法总数。

解析：

• 使用3种颜色时，先选3种颜色（(A_4^3)），再确定区域2和4同色及区域3和5同色，共有(A_4^3=24)种方法。
• 使用4种颜色时，分两种情况：
  • 区域2和4同色或区域3和5同色，共有(2 \times A_4^4 = 48)种；
  • 区域2和4不同色且区域3和5也不同色，共有(A_4^4 = 24)种。
• 总计有(24 + 48 + 24 = 96)种涂色方法。

点的涂色

点的涂色问题通常涉及几何图形的顶点着色，要求相邻顶点颜色不同。解题时同样采用分类讨论的方法，根据颜色数量或相对顶点是否同色进行分析。

例题2：将四棱锥S-ABCD的每个顶点染色，同一棱两端颜色不同，可用5种颜色，求不同的染色方法总数。

解析：

• 使用3种颜色时，先选顶点S的颜色（5种选择），再从剩余颜色中选2种涂底面（(A_4^2)），此时A与C、B与D必须同色，共(5 \times A_4^2 = 60)种。
• 使用4种颜色时，先选顶点S的颜色（5种），再选A与B的颜色（(A_4^2)），最后为D或C选色（2种），另一端自动确定，共(5 \times A_4^2 \times 2 = 240)种。
• 使用5种颜色时，直接排列5个顶点的颜色，共(A_5^5 = 120)种。
• 因此，总共有(60 + 240 + 120 = 420)种染色方法。

线段涂色

线段涂色问题关注的是相邻线段颜色不同，可通过分类讨论解决。

例题3：用4种颜色涂矩形ABCD的四条边，每边一色，相邻边颜色不同，求涂色方法总数。

解析：

• 先固定AB和BC的颜色（(4 \times 3 = 12)种），然后考虑CD和DA：
  • 若CD与AB同色，则DA有3种选择；
  • 若CD与AB不同色，CD有2种选择，DA也有2种选择。
• 综上，共有(12 \times (3 + 2 \times 2) = 84)种涂色方法。

分类讨论法

分类讨论是解决涂色问题最常用的方法。根据颜色使用数量或特殊位置（如相对顶点）是否同色进行分类，可以将复杂问题简化为若干个简单问题。

递推关系

对于某些具有规律性的涂色问题，可以建立递推公式来简化计算。

例题4：有排成一行的n个方格，用红、粉、绿三色涂每个格子，要求：任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色。求n个格子满足要求的涂法数。

解析：

• 显然n=1,f(n)=1，n=2||3 ,f(n)=6
• n>3时，考虑两种情况：
  • 倒数第二个格子和首格异色，则有f(n)=f(n-1)*1
  • 倒数第二个格子和首格同色，即f(n-1)=f(n-2)*1 , f(n)=f(n-2)2
• 综合 f(n)=f(n-1)+2f(n-2)

DFS算法

对于更复杂的涂色问题，可以将其转化为图的遍历问题，使用深度优先搜索（DFS）算法求解。

解析：

• 将涂色问题抽象为无向图，每个结点代表一个区域，边表示相邻关系
• 使用DFS进行枚举搜索，确保相邻结点颜色不同
• 通过递归实现DFS，记录每种可行的涂色方案

例题5：凸五边形边的涂色问题

给一个各边不等的凸五边形的各边涂色，每边可以涂红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，求不同的染色方法共有多少种？

解析：

• 将凸五边形的各边依次编号为①②③④⑤
• 当①③用同种颜色时，(N_1=3\times 2\times 1\times 2\times1=12)种
• 当①③用不同颜色时，(N_2=3\times 2\times 1\times( 1\times 2+1\times1)=18)种
• 综上，共有(N=12+18=30)种

例题6：线段端点涂色问题

如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为多少？

解析：

• 若(A)，(D)颜色相同，共有(4×3×2×1＝24)种
• 若(A)，(D)颜色不同，共有(4×3×2×(2＋1)＝72)种
• 根据分类加法计数原理，共有(24＋72＝96)种

例题7：试验田种植作物问题

将3种作物种植在5块如图的试验田中，每块试验田种植一种作物，且相邻的试验田不能种植同一种作物，求共有多少种不同的种植方法？

解析：

• 使用分类讨论法，考虑作物的使用数量
• 根据相邻试验田不能种植同一种作物的规则，进行递推计算
• 最终得出种植方法总数

为了帮助读者更好地掌握涂色问题的解题技巧，下面提供几个不同难度的练习题。

练习题1

用4种颜色给下图的4个区域涂色，每区域一种颜色，相邻区域颜色不同，求涂色方法总数。

答案：72种

解析：

• 使用3种颜色时，(A_4^3=24)种
• 使用4种颜色时，(2 \times A_4^4 = 48)种
• 总计有(24 + 48 = 72)种

练习题2

将正方体的每个顶点染色，同一棱两端颜色不同，可用4种颜色，求不同的染色方法总数。

答案：240种

解析：

• 使用3种颜色时，(4 \times A_3^3 = 24)种
• 使用4种颜色时，(4 \times A_3^3 \times 2 = 144)种
• 使用5种颜色时，(A_4^4 = 72)种
• 总计有(24 + 144 + 72 = 240)种

练习题3

用3种颜色涂下图的6条边，每边一色，相邻边颜色不同，求涂色方法总数。

答案：30种

解析：

• 使用2种颜色时，(3 \times 2 = 6)种
• 使用3种颜色时，(3 \times 2 \times 2 = 12)种
• 总计有(6 + 12 + 12 = 30)种

涂色问题虽然看似复杂，但通过掌握分类讨论、递推关系和DFS算法等解题技巧，可以轻松应对各类题目。关键是要根据题目特点选择合适的解题方法，同时注意细节处理，如颜色数量的限制、首尾相连的特殊情况等。通过大量练习，相信你一定能在这个专题上取得好成绩！