过桥问题：最优解策略与数学模型解析

过桥问题：最优解策略与数学模型解析

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来源

1.

https://blog.csdn.net/xiaoyuan_2434/article/details/129707260

2.

https://blog.csdn.net/Soinice/article/details/84504484

3.

https://blog.csdn.net/m0_37568814/article/details/82933999

4.

https://blog.csdn.net/nameix/article/details/52016767

5.

https://blog.csdn.net/xiaoyujiale/article/details/112650705

6.

https://blog.csdn.net/qq_41507622/article/details/100751853

7.

https://www.xscxx.com/sjb/202411073868.html

8.

https://www.cnblogs.com/debuging/p/3160474.html

9.

https://www.cnblogs.com/drizzlecrj/archive/2007/10/20/931011.html

在漆黑的夜里，一座狭窄的桥上只能容纳两个人同时通过，而四名旅行者需要在最短时间内安全过桥。他们只有一把手电筒，桥上没有护栏，没有手电筒就无法安全过桥。每个人单独过桥所需的时间不同：1分钟、2分钟、5分钟和8分钟。如果两个人一起过桥，所需时间则以较慢者的过桥时间为准。如何设计一个最优方案，让所有人都能在最短时间内过桥？

要解决这个问题，首先需要明确几个关键点：

1. 每次过桥必须有手电筒
2. 桥上最多只能有两个人
3. 两个人一起过桥时，所需时间由较慢者决定
4. 手电筒不能扔，只能由人携带

基于这些规则，我们可以得出一个基本策略：让最快的人多次往返送手电筒，以减少总时间。但是，这个策略是否最优呢？我们可以通过数学模型来验证。

这个问题可以通过动态规划来解决。设a[i]为第i个人过桥的时间，opt[i]为前i个人过桥的最短时间。我们考虑两种情况：

1. 当河这边还有1个人时（即河那边有i-1个人），让最快的人把手电筒送过来，然后和第i个人一起过河。此时的总时间为：opt[i] = opt[i-1] + a[1] + a[i]

2. 当河这边有两个人时（一个是第i号，另一个任意），让最快的人把电筒送过来，第i个人和另一个人一起过河，然后次快的人送手电筒回来，最后最快和次快的人一起过河。此时的总时间为：opt[i] = opt[i-2] + a[1] + a[i] + 2*a[2]

结合以上两种情况，我们得到动态规划的核心公式：
opt[i] = min{opt[i-1] + a[1] + a[i] , opt[i-2] + a[1] + a[i] + 2*a[2]}

具体实现如下（Java代码）：

package ExamTest;
import java.util.*;
public class DPTest03 {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int numOfChild = sc.nextInt();
        int[] timeCost = new int[numOfChild+1];
        timeCost[0] = 0;
        for(int i=1;i<numOfChild+1;i++) {
            timeCost[i] = sc.nextInt();
        }
        Arrays.sort(timeCost);
        int[] optCost = new int[timeCost.length];
        optCost[0] = 0;
        optCost[1] = timeCost[1];
        optCost[2] = timeCost[2];
        for(int i=3;i<timeCost.length;i++) {
            optCost[i] = Math.min(optCost[i-1]+timeCost[1]+timeCost[i],optCost[i-2]+timeCost[1]+2*timeCost[2]+timeCost[i]);
        }
    }
}

通过数学模型，我们可以发现两种主要的最优解策略：

1. 最快者送最慢者过桥：让最快的人（A）先和最慢的人（Z）过桥，然后A返回，再和次慢的人（Y）过桥，最后A返回和次快的人（B）一起过桥。

2. 最快的两人送最慢的两人过桥：让最快的两人（A和B）先过桥，A返回，然后最慢的两人（Y和Z）一起过桥，B返回，最后A和B一起过桥。

具体选择哪种策略，需要比较两种方案的总时间：

• 方案一的总时间为：A + A + Y + Z
• 方案二的总时间为：A + B + B + Z

通过比较可以发现，当2B > A + Y时，应该选择方案一；否则选择方案二。

在实际应用中，过桥问题的变种很多。例如，当过桥时间组合不同时，最优解也会发生变化。微软、Google等公司经常将这类问题作为面试题，考察应聘者的逻辑思维能力。

此外，过桥问题还可以扩展到更多场景，如操作系统中的信号量问题。例如，独木桥问题要求同一方向的行人可连续过桥，当某一方向有人过桥时，另一方向的行人必须等待。这可以通过信号量来解决：

东方：
while（true）{
    P(eastMutex);
    eastCount++;
    if(eastCount == 1) 
        P(brigde);
    V(eastMutex);
    上桥
    下桥
    P(eastMutex);
    eastCount--;
    if(eastCount == 0) 
        V(brigde);
    V(eastMutex);
}

西方：
while（true）{
    P(westMutex);
    westCount++;
    if(westCount == 1)  
        P(brigde);
    V(westMutex);
    上桥
    下桥
    P(westMutex);
    westCount--;
    if(westCount == 0) 
        V(bridge);
    V(westMutex);
}

过桥问题看似简单，实则蕴含深刻的逻辑思维和数学原理。通过动态规划模型，我们可以找到最优解，并应用于各种变种问题。这个过程不仅考验了我们的逻辑推理能力，也展示了数学模型在解决实际问题中的强大威力。

在现实生活中，类似的问题还有很多，比如资源分配、任务调度等。通过研究这类问题，我们可以更好地理解和解决现实生活中的复杂问题。