积分的应用
积分的应用
积分是高等数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍积分在质量、重心、功、流量等计算中的应用，以及如何用积分计算不规则区域的面积和立体体积。通过具体的案例分析，帮助读者更好地理解积分的应用场景和计算方法。
课程目标
- 理解积分在物理学和工程中的实际应用，如质量、重心、功、流量等计算。
- 掌握用积分计算不规则区域的面积和立体体积的方法。
- 理解平均值定理和积分的数值计算方法，并能够应用在实际问题中。
一、积分的物理应用
1.质量和密度
物体的质量可以通过积分计算，若密度函数为$\rho(x)$，则质量为：
$$
M = \int_a^b \rho(x) , dx
$$
案例：一根长度为 10 米的杆，密度沿杆的长度变化为$\rho(x) = 2 + x^2$ kg/m，求杆的总质量。
解：
$$
M = \int_0^{10} (2 + x^2) , dx = \left[2x + \frac{x^3}{3}\right]_0^{10}
$$
$$
M = \left(20 + \frac{1000}{3}\right) - (0 + 0) = 20 + \frac{1000}{3} = \frac{1060}{3} , \text{kg}
$$
2.重心
物体的重心公式：
- 一维重心：
$$
\bar{x} = \frac{\int_a^b x \rho(x) , dx}{\int_a^b \rho(x) , dx}
$$ - 二维重心：
$$
(\bar{x}, \bar{y}) = \left(\frac{\int \int_R x \rho(x, y) , dA}{M}, \frac{\int \int_R y \rho(x, y) , dA}{M}\right)
$$
案例：求解一根杆 $(0 \leq x \leq 10)$ 的重心，密度函数为$\rho(x) = 2 + x^2$。
- 求质量：
$$
M = \int_0^{10} (2 + x^2) , dx = \frac{1060}{3}
$$ - 求重心：
$$
\bar{x} = \frac{\int_0^{10} x (2 + x^2) , dx}{M}
$$
分子计算：
$$
\int_0^{10} (2x + x^3) , dx = \left[x^2 + \frac{x^4}{4}\right]_0^{10} = 100 + \frac{10000}{4} = 2600
$$
重心位置：
$$
\bar{x} = \frac{2600}{\frac{1060}{3}} = \frac{7800}{1060} = \frac{390}{53} \approx 7.36 , \text{m}
$$
3.功
功的公式：
$$
W = \int_a^b F(x) , dx
$$
其中$F(x)$是沿路径上的力。
案例：一个物体沿直线运动，受力$F(x) = 5x^2 - 3x + 2$牛顿，运动区间为$x \in [1, 3]$，求做功。
解：
$$
W = \int_1^3 (5x^2 - 3x + 2) , dx = \left[\frac{5x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x\right]_1^3
$$
$$
W = \left(\frac{135}{3} - \frac{27}{2} + 6\right) - \left(\frac{5}{3} - \frac{3}{2} + 2\right) = 46.5 - 0.833 = 45.667 , \text{J}
$$
二、积分计算面积和体积
1.区域的面积
若曲线$y = f(x)$和$y = g(x)$在$[a, b]$上围成区域，其面积为：
$$
A = \int_a^b |f(x) - g(x)| , dx
$$
案例：计算$y = x^2$和$y = 2x$在$[0, 2]$上围成区域的面积。
解：
- 交点：
$$
x^2 = 2x \quad \Rightarrow \quad x(x - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, 2
$$ - 面积公式：
$$
A = \int_0^2 (2x - x^2) , dx
$$ - 计算积分：
$$
\int_0^2 (2x - x^2) , dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - (0 - 0) = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
$$
2.体积
利用旋转曲线生成的立体体积：
- 绕$x$-轴：
$$
V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 , dx
$$ - 绕$y$-轴：
$$
V = 2\pi \int_a^b x f(x) , dx
$$
案例：计算$y = \sqrt{x}$在$[0, 4]$上绕$x$-轴旋转的体积。
解：
- 体积公式：
$$
V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 , dx = \pi \int_0^4 x , dx
$$ - 计算积分：
$$
\int_0^4 x , dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \frac{16}{2} - 0 = 8
$$ - 体积：
$$
V = \pi \cdot 8 = 8\pi
$$
三、平均值定理与数值计算
1.平均值定理
积分的平均值定理：
$$
f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) , dx
$$
它表示在$[a, b]$上的平均函数值。
案例：求$f(x) = x^2$在$[1, 3]$上的平均值。
解：
$$
f_{\text{avg}} = \frac{1}{3-1} \int_1^3 x^2 , dx = \frac{1}{2} \left[\frac{x^3}{3}\right]1^3
$$
$$
f{\text{avg}} = \frac{1}{2} \left(\frac{27}{3} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{26}{3} = \frac{13}{3}
$$
2.数值计算方法
数值积分常用方法：
- 梯形法：
$$
\int_a^b f(x) , dx \approx \frac{b-a}{2} \left[f(a) + f(b)\right]
$$ - 辛普森法：
$$
\int_a^b f(x) , dx \approx \frac{b-a}{6} \left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right]
$$
案例：用梯形法近似计算$\int_0^2 x^2 , dx$。
解：
- 分区间$[0, 2]$，步长$h = 2 - 0 = 2$。
- 梯形公式：
$$
\int_0^2 x^2 , dx \approx \frac{2}{2} \left[f(0) + f(2)\right] = 1 \cdot \left[0 + 4\right] = 4
$$
四、课堂活动
- 计算物理问题：
- 求一块不规则金属板（密度为$\rho(x, y) = 1 + x^2$，边界为$x = 0, y = 0, x+y = 2$）的质量和重心。
- 计算面积和体积：
- 求曲线$y = \sin(x)$和$y = \cos(x)$在$[0, \pi/2]$上的围成面积。
- 计算$y = x^2$在$[0, 2]$上绕$y$-轴旋转的体积。
五、图像绘制
以下是面积围成区域的图像绘制：
本文原文来自CSDN