模运算详解：从基础概念到实际应用

模运算详解：从基础概念到实际应用

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/tang7mj/article/details/134215048

模运算概述

2.3.1 模的定义

模的概念：

• 模运算是一种算术运算，常写作
  a mod n
  ，表示整数a除以正整数n后的余数。
• 模数是模运算中的除数n，它决定了结果的范围。

公式表达：

• 对于任意整数a和正整数n，可以将a表示为：
  a = qn + r
  ，其中
  0 ≤ r < n
  ，q是整数商，即
  q = ⌊a/n⌋
  。
• a除以n的余数是
  a mod n
  。

示例：

• 11 mod 7 = 4
  （11除以7的余数是4）
• -11 mod 7 = 3
  （-11除以7的余数是3）

同余关系

同余的定义：

• 当两个整数a和b除以同一个正整数n得到相同的余数时，称a和b模n同余。
• 表达式为
  a ≡ b (mod n)
  。

同余的性质：

• 如果
  a mod n
  与
  b mod n
  的结果相同，那么
  a ≡ b (mod n)
  。
• 如果
  a = 0 (mod n)
  ，则n整除a（n是a的因子）。

模运算的性质

重要性质：

• 模运算符合加法、减法、乘法的性质，但不符合传统的除法性质。

运算规则：

• (a + b) mod n = [(a mod n) + (b mod n)] mod n
• (a - b) mod n = [(a mod n) - (b mod n)] mod n
• (a * b) mod n = [(a mod n) * (b mod n)] mod n

幂运算的模：

• 幂运算也可以对模进行，例如
  7^3 mod 23
  等于
  4
  。

应用

编程中的应用：

• 在编程中，模运算用于确保数字在一定范围内，如数组的循环索引。

加密学中的应用：

• 模运算是许多加密算法的基础，特别是在公钥加密和散列函数中。

注意点

• 模运算中的负数处理有时可能会导致混淆，因为取模的结果总是非负数。
• 同余并不意味着两个数相等，只是它们除以模数n的余数相等。

这些笔记总结了模运算的基本概念和性质，以及它在数学和计算机科学中的应用。理解这些概念对于研究更高级的数论问题和密码学算法至关重要。

2.3.2 同余的性质

性质概览

• 同余的基本性质：
• 如果n整除a-b（即
  n | (a - b)
  ），则a和b模n同余，记作
  a ≡ b (mod n)
  。
• 如果
  a ≡ b (mod n)
  ，则同样有
  b ≡ a (mod n)
  ；同余关系是对称的。
• 如果
  a ≡ b (mod n)
  且
  b ≡ c (mod n)
  ，则有
  a ≡ c (mod n)
  ；同余关系是传递的。

性质（1）的证明

• 证明同余的条件：
• 如果n整除a-b，则表示存在整数k使得
  (a - b) = kn
  。
• 将此等式变形可得
  a = b + kn
  。
• 这表明a除以n的余数与b除以n的余数相同，即
  a mod n = b mod n
  。

实例

• 同余实例分析：
• 23 ≡ 8 (mod 5)
  因为
  23 - 8 = 15 = 5 × 3
  ，所以5整除23和8的差，表明它们模5同余。
• -11 ≡ 5 (mod 8)
  因为
  -11 - 5 = -16 = 8 × (-2)
  ，所以8整除-11和5的差，表明它们模8同余。
• 81 ≡ 0 (mod 27)
  因为
  81 - 0 = 81 = 27 × 3
  ，所以27整除81，表明81模27同余于0。

其他性质的论述

• 性质（2）的说明：
• 同余关系的对称性直接来自于定义。如果a和b模n同余，无论a和b的顺序如何，它们除以n的余数是相同的。
• 性质（3）的证明：
• 同余关系的传递性意味着如果a同余于b，b同余于c，则a也同余于c。
• 这可以通过将同余看作“相同的余数”来证明：如果a和b有相同的余数，b和c也有相同的余数，则a和c必然有相同的余数。

注意点

• 当操作负数时，同余的性质仍然成立，但在具体计算时要注意符号和余数的正负。
• 在应用同余性质进行证明时，要小心处理中间步骤，避免对模数的误解。
• 在进行数学证明或编程实现时，这些性质可以简化运算，特别是在处理大数字或者进行模运算优化时。

2.3.3 模算术运算

模算术基础

• 定义：模算术运算是在集合
  {0, 1, …, (n-1)}
  中进行的算术运算，使用模数
  n
  限制结果。
• 映射特性：运算符
  (mod n)
  将所有整数映射到上述集合内。

模算术的性质

1. 加法：
   [(a mod n) + (b mod n)] mod n = (a + b) mod n
2. 减法：
   [(a mod n) - (b mod n)] mod n = (a - b) mod n
3. 乘法：
   [(a mod n) × (b mod n)] mod n = (a × b) mod n

性质证明示例

• 加法性质证明：
• 令
  r_a = (a mod n)
  和
  r_b = (b mod n)
  ，存在整数
  j
  和
  k
  使得
  a = r_a + jn
  和
  b = r_b + kn
  。
• (a + b) mod n = (r_a + jn + r_b + kn) mod n
• = ((r_a + r_b) + (j + k)n) mod n
• = (r_a + r_b) mod n
• = [(a mod n) + (b mod n)] mod n

模算术运算例子

• 加法和乘法例子：
• (11 mod 8) + (15 mod 8) = 3 + 7 = 10 mod 8 = 2
• (11 + 15) mod 8 = 26 mod 8 = 2
• [(11 mod 8) × (15 mod 8)] mod 8 = (3 × 7) mod 8 = 21 mod 8 = 5
• (11 × 15) mod 8 = 165 mod 8 = 5

幂运算

• 幂运算可以通过反复的乘法来实现。
• 例如，
  11^7 mod 13
  可以分解为：
  11^2 mod 13
  ,
  11^4 mod 13
  等，逐步计算并利用之前的结果。

逆元素

• 加法逆元：对于每个整数
  x
  ，存在加法逆元
  y
  使得
  (x + y) mod n = 0
  。
• 乘法逆元：对于每个整数
  x
  ，可能存在乘法逆元
  y
  使得
  (x × y) mod n = 1
  。
• 注意，并非所有整数模
  n
  都有乘法逆元。
• 乘法逆元的寻找需要特别注意
  n
  的选择，因为这关系到数的互质性。

表2.2示例

• 加法表（模8）：展示了加法运算的结果，表明这种运算是闭合的，并遵循一定规律。
• 乘法表（模8）：显示了乘法运算的结果，同样表现出闭合性和规律性。
• 逆元素表：说明了如何找到每个数的加法和乘法逆元，但对于乘法逆元，不是所有数都有逆元。

注意点

• 在实际应用模算术时，对于加法和乘法运算的理解需要细心观察模数的选择和结果的规律性。
• 逆元素的存在性在某些数论问题中非常关键，特别是在密码学和编码理论中。
• 理解模算术对于解决同余方程和系统设计至关重要，特别是在涉及密码算法的场景中。

2.3.4 模运算的性质

定义:

• 剩余类集合（模n的剩余类）: ��={0,1,…,�−1}Zn ={0,1,…,n−1}
• 每个整数表示一个剩余类: [0],[1],…,[�−1][0],[1],…,[n−1]
• 定义: [�]={�∣� 是整数且 �≡�(mod�)}[r]={a∣a 是整数且 a≡r(modn)}

剩余类示例（模4）:

• [0]={…,−16,−12,−8,−4,0,4,8,12,16,…}[0]={…,−16,−12,−8,−4,0,4,8,12,16,…}
• [1]={…,−15,−11,−7,−3,1,5,9,13,17,…}[1]={…,−15,−11,−7,−3,1,5,9,13,17,…}
• 通常使用最小非负整数代表剩余类，称为模n的k约化。

基本性质:

• 加法和乘法运算符合交换律、结合律和分配律。
• 在 ��Zn 中存在加法单位元0和乘法单位元1。
• 每个元素存在加法逆元。

性质表述（对 ��Zn 中的整数适用）:

• (�+�)mod  �=(�+�)mod  �(w+x)modn=(x+w)modn
• (�×�)mod  �=(�×�)mod  �(w×x)modn=(x×w)modn
• 加法逆元存在性：如果 (�+�)≡(�+�)(mod�)(a+b)≡(a+c)(modn)，则 �≡�(mod�)b≡c(modn)。

特殊性质（当满足附加条件时）:

• 乘法逆元的存在性: 当a与n互素时，即 gcd⁡(�,�)=1gcd(a,n)=1：
• 如果 (�×�)≡(�×�)(mod�)(a×b)≡(a×c)(modn)，则 �≡�(mod�)b≡c(modn)。
• 乘法逆元 �−1a−1 存在，使得 (�×�−1)≡1(mod�)(a×a−1)≡1(modn)。

注意事项:

• 当a与n不互素时（如例中的a=6, n=8），用a乘以 ��Zn 中的每个元素不会生成完整的剩余类集。
• 互素条件是乘法逆元存在的关键。

结论:

• 完整的剩余类集的存在性:
• 仅当a与n互素时，乘以a会在 ��Zn 中产生完整的剩余类集。
• 如果 gcd⁡(�,�)≠1gcd(a,n)=1，将存在多个 ��Zn 中的整数映射到相同的剩余类，导致乘法运算没有唯一逆运算。

实例分析:

• 乘法逆元示例（模8）:
• 1, 3, 5, 7与8互素，它们在 �8Z8 中有乘法逆元。
• 2, 4, 6与8不互素，没有乘法逆元。

2.3.5 欧几里得算法

基本概念：

• 欧几里得算法用于计算两个正整数a和b的最大公约数（gcd）。
• 算法基于以下原理：gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。

算法流程：

1. 如果b=0，算法结束，a即为gcd。
2. 否则，计算a除以b的余数r（即a mod b）。
3. 将b的值赋给a，将r的值赋给b。
4. 重复步骤1和2，直到b为0。

实际例子：

• gcd(55, 22) 的计算过程为：gcd(55, 22) = gcd(22, 11) = gcd(11, 0) = 11。
• gcd(18, 12) 的计算过程为：gcd(18, 12) = gcd(12, 6) = gcd(6, 0) = 6。

递归定义：

Euclid(a, b)
    if b == 0
        return a
    else
        return Euclid(b, a mod b)

注解：

• 当我们计算
  a mod b
  时，如果存在非零余数r，则
  gcd(a, b)
  等同于
  gcd(b, r)
  。
• 每一次递归调用都是在寻找更小一组数的最大公约数，直至其中一个数减小到0。
• 该算法可以迅速收敛，因为每一步都至少减半一个数的大小。

关键点记忆：

• 欧几里得算法非常高效，特别是对于大数的gcd计算。
• 递归实现简洁且易于理解。
• 了解算法的原理有助于深刻理解整数的除法和余数的性质。

2.3 模运算重点、难点和易错点

重点:

1. 模运算的定义：理解模运算的基本定义和性质，包括同余理论。
2. 欧几里得算法：了解欧几里得算法的基本原理和实现，能够计算两个整数的最大公约数（GCD）。
3. 扩展欧几里得算法：掌握扩展欧几里得算法不仅用于计算GCD，还能找到方程ax + by = gcd(a, b)的整数解x和y。
4. 模的逆元：了解如何使用扩展欧几里得算法来找到一个数的模逆元，即对于给定的a和m，找到x使得ax ≡ 1 (mod m)。

难点:

1. 理解“同余”概念：同余是模运算的核心，要深刻理解a ≡ b (mod m)表示m整除a-b。
2. 模运算的性质：如模加、模乘的性质和运算规则，以及它们与常规算术运算的区别。
3. 逆元的存在性和唯一性：逆元不总是存在，它要求a和m互质，理解这一点对于避免错误至关重要。
4. 复合模运算中的顺序：在涉及多步模运算时，操作的顺序非常重要，特别是在解决涉及模的方程时。

易错点:

1. 错误地应用除法规则：在模运算中，除法需要特别处理，不能简单地将除法转换为乘逆元，必须保证逆元存在。
2. 混淆模运算与整数除法：模运算和整数除法是不同的概念，混淆它们会导致错误。
3. 忽略了模运算的封闭性：例如，在模m运算下，结果应始终在0到m-1的范围内，不注意这一点可能导致错误结果。
4. 不正确的模逆元应用：求模逆元时未检查a和m是否互质，或在不存在逆元的情况下尝试求解。
5. 忽视算法的停止条件：在实现欧几里得算法或其扩展版本时，不正确的停止条件可能导致无限循环或错误的答案。