用x=6.4玩转一次函数图像变化

用x=6.4玩转一次函数图像变化

在日常生活中，我们经常会遇到一些变量之间的关系，比如打车的费用与行驶里程的关系、购买商品的总价与数量的关系等等。这些关系可以用数学中的“一次函数”来描述。今天，我们就通过一个具体的数值——6.4，来探索一次函数图像的变化规律。

假设你乘坐出租车，起步价是10元（包含最初的3公里），之后每增加1公里收费2元。如果你乘车行驶了6.4公里，需要支付多少车费呢？

这个问题就可以用一次函数来解决。设行驶里程为x公里，总费用为y元，那么y与x之间的关系可以表示为：

[ y = 2(x - 3) + 10 ]

当x=6.4时，代入上式计算得到：

[ y = 2(6.4 - 3) + 10 = 2 \times 3.4 + 10 = 6.8 + 10 = 16.8 ]

所以，行驶6.4公里需要支付16.8元。这个简单的例子展示了如何将实际问题转化为数学模型，并用一次函数来求解。

一般地，形如y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的函数称为一次函数。其中：

• k称为斜率，决定了函数图像的倾斜程度和方向
• b称为截距，决定了函数图像与y轴的交点位置

特别地，当b=0时，函数形式为y=kx，称为正比例函数，其图像经过原点。

让我们通过几个具体的例子，来看看当k和b变化时，函数图像会发生怎样的变化。

斜率k的影响

考虑以下三个函数：

1. ( y = x )
2. ( y = 2x )
3. ( y = -x )

当x=6.4时，分别代入上述函数，得到：

1. ( y = 6.4 )
2. ( y = 12.8 )
3. ( y = -6.4 )

从图像中可以看出：

• 当k>0时，函数图像从左下向右上倾斜
• 当k<0时，函数图像从左上向右下倾斜
• |k|越大，图像越陡峭

截距b的影响

再来看三个函数：

1. ( y = x + 2 )
2. ( y = x )
3. ( y = x - 2 )

当x=6.4时，分别代入上述函数，得到：

1. ( y = 8.4 )
2. ( y = 6.4 )
3. ( y = 4.4 )

从图像中可以看出：

• b的值决定了图像与y轴的交点位置
• b>0时，图像向上平移
• b<0时，图像向下平移

某商品的销售价x元与日销售量y件之间存在一次函数关系。已知当售价为10元时，日销售量为50件；当售价为20元时，日销售量为30件。如果该商品的成本价为每件5元，问售价定为多少时，每日的销售利润最大？

首先，我们需要确定y与x之间的函数关系。设 ( y = kx + b )，根据题意可得两个方程：

[ 50 = 10k + b ]
[ 30 = 20k + b ]

解这个方程组，得到 ( k = -2 )，( b = 70 )。所以，函数关系式为 ( y = -2x + 70 )。

接下来，我们计算销售利润。设利润为P元，则：

[ P = (x - 5)y = (x - 5)(-2x + 70) ]

这是一个二次函数，但我们可以利用一次函数的知识来分析。当x=6.4时，代入函数式计算得到：

[ y = -2 \times 6.4 + 70 = -12.8 + 70 = 57.2 ]

所以，当售价为6.4元时，日销售量为57.2件。但要注意，实际销售量应该是整数，这里是为了演示计算过程。

通过上面的探究，我们发现：

1. 一次函数y=kx+b中，k决定图像的倾斜程度和方向，b决定图像与y轴的交点位置。
2. 当k>0时，函数图像从左下向右上倾斜；当k<0时，从左上向右下倾斜。
3. b的值影响图像的上下平移。

练习题：

1. 已知一次函数y=3x-4，当x=6.4时，求y的值。
2. 画出函数y=-0.5x+3的图像，并计算当x=6.4时的y值。
3. 某种商品的售价x元与销量y件的关系为y=-4x+80，求当售价为6.4元时的销量。

通过这些练习，相信你对一次函数图像的变化规律有了更深刻的理解。记住，数学来源于生活，又服务于生活。掌握这些知识，不仅能帮助你解决实际问题，还能培养你的逻辑思维能力。