DeepSeek整理PDF文档以思维导图方式展示

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引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/panjinliang066333/article/details/145609074

本文介绍了如何使用DeepSeek将PDF文档整理成思维导图，并以高等数学教材为例，展示了具体的操作步骤和生成的Markdown代码。文章内容详细，包含了高等数学第一章和第二章的完整知识点，以及如何使用Xmind软件将Markdown文件转换为思维导图并导出为PDF的完整流程。

一、DeepSeek网页版将PDF文档整理成思维导图

注意：本地部署的Chatbox中无法读取PDF文章。以高等数学教材为例，使用DeepSeek将PDF文档整理成思维导图，输出格式为Markdown。

高等数学（上册）第一章 函数与极限

一、映射与函数

1. 映射概念

• 定义：设X,Y为非空集合，存在对应法则f，使X中每个元素x对应Y中唯一元素y
• 构成要素：定义域D_f=X，对应法则f，值域R_f⊂Y
• 分类：
• 满射：R_f=Y
• 单射：x₁≠x₂⇒f(x₁)≠f(x₂)
• 双射：既是单射又是满射

2. 函数

• 定义：数集D⊂R到R的映射，记为y=f(x)
• 特性：
• 有界性：存在M>0使|f(x)|≤M
• 单调性：区间内递增/递减
• 奇偶性：f(-x)=f(x)（偶），f(-x)=-f(x)（奇）
• 周期性：存在l>0使f(x+l)=f(x)

3. 反函数与复合函数

• 反函数：若f是单射，则存在逆映射f⁻¹
• 复合函数：f∘g(x)=f(g(x))，需满足R_g⊂D_f

4. 初等函数

• 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
• 初等函数：由基本初等函数经有限次四则运算和复合构成

二、数列的极限

1. 定义

• ∀ε>0, ∃N∈N⁺，当n>N时|aₙ-a|<ε ⇒ limₙ→∞aₙ=a

2. 收敛数列性质

• 唯一性：极限唯一
• 有界性：收敛数列必有界
• 保号性：若a>0，则存在N使n>N时aₙ>0
• 子数列关系：收敛数列的子数列收敛于同一极限

三、函数的极限

1. 自变量趋于有限值（x→x₀）

• 定义：∀ε>0, ∃δ>0，当0<|x-x₀|<δ时|f(x)-A|<ε
• 左右极限：
• 左极限：x→x₀⁻时f(x)→A
• 右极限：x→x₀⁺时f(x)→A
• 极限存在⇔左右极限存在且相等

2. 自变量趋于无穷大（x→∞）

• 定义：∀ε>0, ∃X>0，当|x|>X时|f(x)-A|<ε

3. 函数极限性质

• 唯一性、局部有界性、局部保号性
• 与数列极限关系：若xₙ→x₀且xₙ≠x₀，则f(xₙ)→A

四、无穷小与无穷大

1. 无穷小

• 定义：limα=0
• 性质：
• 有限个无穷小的和/积仍是无穷小
• 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

2. 无穷大

• 定义：∀M>0, ∃δ>0，当0<|x-x₀|<δ时|f(x)|>M
• 关系：若limf(x)=∞，则lim1/f(x)=0

五、极限运算法则

1. 四则运算

• 加减乘除的极限等于极限的加减乘除（分母非零）

2. 复合函数极限

• 若limg(x)=u₀，limf(u)=A，则limf(g(x))=A

六、极限存在准则

1. 夹逼准则

• 若g(x)≤f(x)≤h(x)且limg(x)=limh(x)=A ⇒ limf(x)=A

2. 单调有界准则

• 单调递增（减）且有上（下）界的数列必收敛

3. 重要极限

• 第一重要极限：lim_{x→0} sinx/x=1
• 第二重要极限：lim_{x→∞} (1+1/x)^x=e

七、无穷小的比较

• 高阶无穷小：β=o(α)
• 同阶无穷小：limβ/α=c≠0
• 等价无穷小：α∼β（limβ/α=1）
• 替换定理：求极限时可用等价无穷小替换

八、函数的连续性

1. 连续定义

• lim_{Δx→0}Δy=0 或 lim_{x→x₀}f(x)=f(x₀)

2. 间断点分类

• 第一类间断点：左右极限存在
• 可去间断点：limf(x)存在但≠f(x₀)
• 跳跃间断点：左右极限不相等
• 第二类间断点：至少一侧极限不存在
• 无穷间断点、振荡间断点

3. 连续函数运算

• 连续函数的和差积商（分母非零）、复合函数、反函数均连续

4. 初等函数连续性

• 所有初等函数在其定义域内连续

九、闭区间上连续函数的性质

• 有界性与最值定理：闭区间上连续函数必有界且能取到最值
• 零点定理：若f(a)f(b)<0，则存在c∈(a,b)使f(c)=0
• 介值定理：若f(a)≠f(b)，则f(x)可取到f(a)与f(b)之间所有值

高等数学（上册）第二章 导数与微分

一、导数概念

1. 导数定义

• 瞬时变化率：
  ( f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} )
• 左右导数：
• 左导数：( f'-(x_0) = \lim{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} )
• 右导数：( f'+(x_0) = \lim{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} )
• 可导条件：左右导数存在且相等

2. 几何意义

• 切线斜率：导数表示曲线 ( y=f(x) ) 在点 ( (x_0,f(x_0)) ) 处的切线斜率
• 切线方程：( y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) )

3. 可导性与连续性

• 可导必连续：若 ( f(x) ) 在 ( x_0 ) 可导，则 ( f(x) ) 在 ( x_0 ) 连续
• 连续不一定可导：反例 ( f(x) = |x| ) 在 ( x=0 ) 处连续但不可导

二、求导法则

1. 四则运算法则

• 加减法则：
  ( (u \pm v)' = u' \pm v' )
• 乘法法则：
  ( (uv)' = u'v + uv' )
• 除法法则：
  ( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0) )

2. 反函数求导

• 若 ( y=f(x) ) 可导且 ( f'(x) \neq 0 )，则反函数 ( x=f^{-1}(y) ) 的导数为：
  ( \frac{dx}{dy} = \frac{1}{f'(x)} )

3. 复合函数求导（链式法则）

• 若 ( y=f(u) ), ( u=g(x) )，则：
  ( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} )

4. 基本导数公式

• 幂函数：( (x^\mu)' = \mu x^{\mu-1} )
• 指数函数：( (a^x)' = a^x \ln a )
• 对数函数：( (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} )
• 三角函数：
  ( (\sin x)' = \cos x ), ( (\cos x)' = -\sin x ),
  ( (\tan x)' = \sec^2 x ), ( (\cot x)' = -\csc^2 x )

三、高阶导数

1. 定义

• 二阶导数：( f''(x) = \frac{d}{dx} \left( f'(x) \right) )
• n阶导数：( f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} f(x) )

2. 常见高阶导数

• ( (e^x)^{(n)} = e^x )
• ( (\sin x)^{(n)} = \sin \left( x + \frac{n\pi}{2} \right) )
• 莱布尼兹公式：
  ( (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)} )

四、隐函数与参数方程求导

1. 隐函数求导

• 方法：方程两边同时对 ( x ) 求导，解出 ( \frac{dy}{dx} )
• 示例：对 ( x^2 + y^2 = 1 ) 求导得 ( 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} )

2. 参数方程求导

• 一阶导数：
  ( \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \quad (x=\varphi(t), y=\psi(t)) )
• 二阶导数：
  ( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d/dt \left( dy/dx \right)}{dx/dt} )

3. 相关变化率

• 通过链式法则关联不同变量的变化率（如半径与体积变化率）

五、微分

1. 微分定义

• 微分表达式：( dy = f'(x) dx )
• 几何意义：切线纵坐标的增量（局部线性逼近）

2. 微分公式与法则

• 基本微分公式：与导数公式一一对应
• 微分形式不变性：
  无论 ( u ) 是自变量还是中间变量，( dy = f'(u) du )

3. 微分应用

• 近似计算：
  ( f(x_0+\Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x )
• 误差估计：
  绝对误差 ( |\Delta y| \approx |dy| = |f'(x)| |\Delta x| )

六、微分中值定理（关联第三章）

1. 罗尔定理

• 条件：闭区间连续、开区间可导、端点值相等
• 结论：存在 ( c \in (a,b) ) 使 ( f'(c)=0 )

2. 拉格朗日中值定理

• 结论：存在 ( c \in (a,b) ) 使 ( f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} )

核心公式总结

二、将输出的Markdown代码复制到文本文件中，将文本文件后缀名修改为.md

三、在思维导图中打开md文件

1、思维导图工具软件

使用Xmind思维导图工具。软件下载网址：Xmind中文官方网站

2、新建思维导图文件

3、导入Markdown的md文件

4、最终生成思维导图文件

5、思维导图文件以PDF文件导出