巧用蒙特卡洛算法进行敏感性分析

创作时间:

作者:

@小白创作中心

巧用蒙特卡洛算法进行敏感性分析

引用

来源

https://jishu.proginn.com/doc/7058661845b6ec933

在决策分析中，理解和量化不确定性很重要。本文将探讨蒙特卡洛算法在敏感性分析中的应用，并提供一个实际案例，帮助大家理解如何使用Python实现该过程。

蒙特卡洛算法

蒙特卡洛算法是一种基于随机抽样的数值计算方法，它通过从概率分布中重复抽取样本来估计数学问题的解。该算法得名于蒙特卡洛赌场，因其随机性质而命名。蒙特卡洛方法在物理、工程、金融和其他许多领域都有广泛应用，特别适用于对于直接解析求解困难的问题。

敏感性分析

敏感性分析是一种用于评估模型输出对于输入参数不确定性或变化的敏感程度的技术。通过系统地改变模型的输入参数，并观察其对输出结果的影响，我们可以识别哪些参数对模型的输出最为敏感，从而深入理解模型的行为和潜在的不确定性来源。

敏感性分析通常涉及对模型输入参数的分布假设，然后通过蒙特卡洛模拟来估计这些假设下的模型输出。假设我们有一个模型 (f(x))，其中 (x) 是模型的输入参数。我们希望评估每个输入参数的变化如何影响模型输出 (y)。

通过定义每个参数的概率分布，我们可以使用蒙特卡洛方法重复抽样这些参数，并计算对应的模型输出。通过分析输出数据的统计特性（例如均值、方差），我们可以量化输入参数的不确定性对模型输出的影响。

投资组合风险评估

假设我们现在遇到一个投资组合风险评估问题，我们的目标是评估不同股票投资比例对投资组合预期回报的敏感性。假设投资组合包含两只股票A和B，我们关心的输出变量是投资组合的预期回报 (R_p)。

设 (w_A) 和 (w_B) 分别为股票 A 和 B 在投资组合中的比例，且 (w_A + w_B = 1)。假设 (r_A) 和 (r_B) 分别为股票 A 和 B 的预期回报率，投资组合的预期回报 (R_p) 可以表示为:

[R_p = w_A \cdot r_A + w_B \cdot r_B]

假设 (r_A) 和 (r_B) 的概率分布已知，我们可以使用蒙特卡洛方法进行敏感性分析，来评估 (w_A) 和 (w_B) 的不同取值对 (R_p) 的影响。

敏感性分析步骤

参数设定：设定 (w_A) 和 (w_B) 的概率分布。例如，设两者都遵循正态分布，均值分别为 (\mu_A) 和 (\mu_B)，标准差均为 (\sigma)。
计算预期回报: 对于每一组抽样的 (w_A) 和 (w_B)，根据不同的 (w_A) 和 (w_B) 组合计算 (R_p)。
统计分析：分析投资组合预期回报 (R_p) 的分布特性，如均值、方差等，确定 (w_A) 和 (w_B) 的不同取值对 (R_p) 的影响。

Python代码实现

import numpy as np

# 设定参数的概率分布
np.random.seed(42)  # 为了结果可复现
mu_A = 0.08  # 股票A的预期回报率均值
mu_B = 0.12  # 股票B的预期回报率均值
sigma = 0.05  # 标准差
num_simulations = 10000  # 模拟次数

# 生成随机样本
r_A = np.random.normal(mu_A, sigma, num_simulations)
r_B = np.random.normal(mu_B, sigma, num_simulations)

# 假设投资组合中股票A和B的比例各占一半
w_A = 0.5
w_B = 1 - w_A

# 计算投资组合预期回报
R_p = w_A * r_A + w_B * r_B

# 输出结果的统计特性
print(f"预期回报均值: {np.mean(R_p):.4f}")
print(f"预期回报标准差: {np.std(R_p):.4f}")

通过调整股票A和B的投资比例 (w_A) 和 (w_B)，我们可以进一步探究不同的投资组合配置如何影响预期回报的分布，特别是其均值和标准差，这两个指标对于投资者来说非常重要。

均值代表了投资的平均回报预期，而标准差则反映了回报的波动性，即风险大小。通过敏感性分析，投资者可以根据自己的风险承受能力和回报预期，优化投资组合的配置。

敏感性分析的进一步步骤

调整投资比例: 系统地变化 (w_A) 的值，例如从 0 到 1 以 0.1 为间隔，同时 (w_B) 将自动调整为 (1 - w_A)。
重复模拟过程: 对每一种投资比例配置，重复前述的随机抽样和预期回报计算过程。
收集和分析数据：对于每个 (w_A) 值，收集对应的预期回报 (R_p) 的统计数据，特别关注均值和标准差。
结果对比和解释: 通过图表展示不同 (w_A) 配置下的预期回报均值和标准差，分析股票比例调整对投资组合性能的影响。

以下代码用以探索不同投资比例对预期回报的影响：

import matplotlib.pyplot as plt

# 投资比例从0到1，以0.05为步长
w_A_values = np.arange(0, 1.05, 0.05)
mean_returns = []
std_returns = []

for w_A in w_A_values:
    w_B = 1 - w_A
    R_p = w_A * r_A + w_B * r_B
    mean_returns.append(np.mean(R_p))
    std_returns.append(np.std(R_p))

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(w_A_values, mean_returns, label='Expected Return')
plt.plot(w_A_values, std_returns, label='Standard Deviation')
plt.xlabel('Proportion of Stock A in Portfolio')
plt.ylabel('Value')
plt.title('Sensitivity Analysis of Portfolio Composition')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

通过上述分析，我们可以明显看到投资比例对投资组合预期回报的均值和波动性有显著影响。特别是，随着股票A的投资比例增加，投资组合的预期回报的均值和波动性如何变化，能够为投资者提供重要的决策依据。

例如，如果某个投资者偏好低风险投资，他们可能会选择那些导致预期回报标准差较低的比例配置，即便这意味着必须牺牲一些预期回报的均值。