一些数学公式的几何意义
一些数学公式的几何意义
数学公式往往给人一种抽象难懂的印象，但通过几何图形的展示，我们可以更直观地理解这些公式的本质。本文将通过具体的图形和实例，为大家介绍几个常见数学公式的几何意义。
三角函数平方和公式
三角函数中的平方和公式有三个形式：
- 第一种：sin²α + cos²α = 1
- 第二种：tan²α + 1 = sec²α
- 第三种：cot²α + 1 = csc²α
首先我们做一个单位圆，我们学三角函数的时候应该都是从单位圆开始的吧~
将x轴的单位“1”逆时针旋转α°，再从顶点向x轴作垂线，就可以构造一个三角形，这个三角形的三条边分别是1，sinα，cosα。
以这三条边为边长向外延伸出三个正方形。我们都学过勾股定理，易得sin²α+cos²α=1，这是第一种形式的几何意义，无论α为多少都成立。
将x轴的单位“1”逆时针旋转α°，再从顶点向x轴作该线的垂线，就可以构造一个三角形，这个三角形的三条边分别是1，tanα，secα。同理可得：tan²α+1=sec²α。
将x轴的单位“1”逆时针旋转α°，再从顶点向y轴作该线的垂线，就可以构造一个三角形，这个三角形的三条边分别是1，cotα，cscα。同理可得：cot²α+1=csc²α。
立方数求和
公式为1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+...+n)²
要求这个公式的解，我们可以先把立方数的图像画出来：
上图中分别是1，2，3，4的三次方，相信你们已经联想到这四个图形可以做什么了。没错，让我们把它们拼起来~
这四个数字的立方和竟然等于四个数字和的平方！那么由这个规律，我们可以推出第一个公式的答案了：
(a-b)²以及a²-b²的几何验证
我们以前学习完全平方公式时，只知道公式的写法，但不知道它的几何意义，所以这次让我们用正方形的面积来研究一下：
左图粉色的为面积为a²的正方形，接着我们在这个正方形中裁剪出一个蓝色的面积为b²的小正方形，再把剩下的部分用一条直线分成两部分，这样我们就可以得到一个公式：
(a-b)² + 2b(a-b) = a² - b²
然后把(a-b)²单独移到一边，就可以推导出它的公式了：
(a-b)² = a² - 2ab + b²
同理，a²-b²只需要将黄色和绿色块代表的面积相加：
a² - b² = (a+b)(a-b)
奇数求和公式
若要求1+3+5+7+9+...+2n-1的值，我们第一想到的应该是等差公式，然后可以求出它的答案，但若要根据它的几何意义来求值，可以怎么做？
我们将公式中的各个奇数用方块的形式表示出来，摆出上图的形状，接着顺势将它们叠放起来：
观察一下它的边长，这是一个边长为4的正方形，也就是说，它包含了4²个方块。
根据这个规律，我们如果要求奇数的和，只需要知道式子里是几个奇数的和即可，若是n个，答案就是n²。（注：该式子必须为1开始，相邻奇数的和）
所以原式的值就是：
1+3+5+7+9+...+2n-1 = n²