华师专家研究成果：基于转换大概念的《圆锥曲线的方程》复习大单元设计

华师专家研究成果：基于转换大概念的《圆锥曲线的方程》复习大单元设计

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华中师范大学专家杨晶关于《圆锥曲线的方程》复习大单元设计的研究成果，详细分析了单元内容，包括课标要求、知识内容、学情和评价分析，并提出了具体的单元学习目标和评估证据。此外，文章还分解了相关概念，并规划了课时分配。

单元内容分析

课标要求

1. 内容要求

• 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
• 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。
• 了解抛物线与双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质。
• 通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。
• 了解椭圆、抛物线的简单应用。

2. 学业要求

• 能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题。
• 能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物线、双曲线的标准方程，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系，能够运用平面解析几何的思想解决一些简单的实际问题。
• 重点提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。

知识内容分析

1. 教材分析

• 教材通过行星运行轨道、抛物线运动轨迹等，使学生了解圆锥曲线的背景与应用。
• 帮助学生在平面直角坐标系中，认识椭圆、双曲线、抛物线的几何特征，建立它们的位置关系。
• 运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系。
• 运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。
• 提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。

2. 知识分析

• 圆锥曲线是高中解析几何的核心内容，其研究对象为几何图形。
• 在教学过程中，将几何与代数联系起来，通过建立坐标系来得到圆锥曲线的方程，再经过化简得到一般的标准方程，最后应用方程与坐标解决简单的数学问题和实际问题。
• 这一过程将曲线的认识与方程的认识建立起联系，实现了数形结合和互相转换。

学情分析

• 计算繁琐是解析几何问题发展数学运算能力的重要环节，一些问题需要经过一系列复杂的计算和推导过程，涉及大量的计算和公式运用。
• 因此，学生在学习圆锥曲线时面临的一个挑战就是计算繁琐。
• 此外，圆锥曲线的许多题目需要代数与几何之间的相互转换，如果学生基础知识不扎实或对概念缺乏理解，面对复杂的数学问题时就会感到困惑和无助。

评价分析

• 高考数学试题中的圆锥曲线部分主要围绕以下几个要点进行考察：
• 首先，在基础题部分，主要测试考生根据已知条件求出曲线方程，以及根据曲线方程来研究其基本性质的能力。
• 其次，在综合题部分，重点在于考察方程与性质命题的证明、与解三角形相关的面积问题、与函数思想融合的最值问题，以及有关定点定值的探究性问题的解决能力。

目标及评估证据

单元学习目标

1. 能用代数式表示规则曲线的轨迹方程，并检验该方程是否为曲线方程。
2. 能将几何条件转换为代数表示，并运用代数运算解决问题。
3. 能根据已知条件分析并形成解决问题的框架。

单元核心问题

通过代数方法研究几何问题，并深入理解数与形之间的辩证统一关系。

目标评估证据

1. 如图，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，过抛物线焦点F且斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，连接PA交椭圆E于点C，连接PB交椭圆E于点D，记直线PA，PB的斜率分别为k1,k2。

• (1)求点P的坐标并确定当为常数λ时的值；
• (2)求取最大值时直线l的方程。
  

2. 有一颗彗星绕着地球沿着一条抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星距地球d km时，经过地球与彗星的直线与抛物线轴夹角为30°，求地球与彗星的最短距离。

3. 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形坑，挖出的土只能沿道路AP或BP运到P处（如图所示），已知PA=100m，PB=150m，角∠APB=60°，试说明怎样运土最省工。
   

概念分解

子概念一：曲线与方程的统一——圆锥曲线的生成与方程

• 主要知识：圆锥曲线的定义与方程，包括原始定义、第一定义、第二定义和第三定义，以及求曲线方程的方法。

子概念二：几何直观转换为代数证明——圆锥曲线的性质

• 主要知识：圆锥曲线的性质，包括几何性质和光学性质，以及用代数方法证明和求解几何性质的方法。

子概念三：位置关系与度量转换为代数表示——位置与度量问题

• 主要知识：平行、垂直、对称、过定点、过定直线等图形的位置关系和长度、面积等度量关系转换为代数表示，并运用代数运算解决问题的方法。

课时分配及课时目标

• 子单元一：圆锥曲线的生成方式
• 子单元二：圆锥曲线的性质
• 子单元三：圆锥曲线中的位置与度量问题

作者简介

杨晶，华师教育研究院研究员，高级教师，杭州师范大学教育硕士。嘉兴市教育技术先进个人，学科网2022年“年度杰出教师”，学科网“教育均衡计划”专家人才库成员。近5年主持省级课题2项，县级课题3项，并荣获1项省优秀成果一等奖，1项县优秀成果三等奖；多次开展省、市级精品课及主题讲座，论文多次荣获省、市、县级奖项；近年来一直在技术与数学学科教学融合的道路上努力前行，擅长几何画板、GeoGebra软件的使用，在PPT制作与美化、微课制作、课题研究和大概念教学方面有一定的研究。