椭圆的定义与标准方程

椭圆的定义与标准方程

椭圆是平面解析几何中的重要概念，它不仅在数学理论中占有重要地位，还在物理学、天文学等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍椭圆的定义、标准方程及其相关性质。

椭圆的定义

平面内与两个定点$F_1$和$F_2$的距离之和等于常数（记作$2a$，且大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。

下图给出了椭圆简单的做法：取一条绳索，绳索两段固定在$F_1$和$F_2$，用铅笔拉直绳索进行旋转，则笔芯的轨迹就是椭圆，其英文称作Ellipse。

在定义中：

① $2a > |F_1F_2|$ 轨迹是椭圆

② $2a = |F_1F_2|$ 轨迹是$F_1F_2$线段

③ $2a < |F_1F_2|$ 轨迹不存在。

椭圆是圆锥曲线的一种

用平面去截圆锥面，可以得到圆、椭圆、抛物线和双曲线。因为这些图形都是从截取圆锥体得到的，古希腊几何学家将这类曲线统称为圆锥曲线"

参考下图，通过切割圆锥体，可以得到这四种图形。

椭圆的标准方程

在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：设椭圆上一点 $M$ 到两个焦点的距离为$2a$

(1) 焦点在 $x$ 轴时，标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \left(a > b > 0\right)$ ，焦点坐标分别是 $F_1\left(-c,0\right)$ 和 $F_2\left(c,0\right)$ ，且 $a^2 = b^2 + c^2$

(2) 焦点在 $y$ 轴时，标准方程为 $\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 \left(a > b > 0\right)$

下面我们根据椭圆的定义来建立椭圆的方程。在考试里，经常会出现考生要自建坐标系的题目，初学者可以细研究本题的思路。

设$F_1$、$F_2$是椭圆的两个焦点，取射线$F_1F_2$作为$x$轴的正半轴，$\stackrel{―}{F_1F_2}$的垂直平分线作为$y$轴（图6.1）。设焦距$\stackrel{―}{F_1F_2} = 2c \left(c > 0\right)$，则 $F_1\left(-c,0\right), F_2\left(c,0\right)$

设$P\left(x,y\right)$是椭圆上的任一点，它到$F_1$、$F_2$的距离之和等于常数

$2a \left(a > 0\right)$, 则 $\stackrel{―}{PF_1} + \stackrel{―}{PF_2} = 2a$

由求两点的距离公式得

$\sqrt{\left(x+c\right)^2 + y^2} + \sqrt{\left(x-c\right)^2 + y^2} = 2a$

去根号，整理得

$\left(a^2 - c^2\right)x^2 + a^2y^2 = a^2\left(a^2 - c^2\right)...(6.1)$

因$\stackrel{―}{PF_1} + \stackrel{―}{PF_2} > \stackrel{―}{F_1F_2}$, 所以$a > c, {a}^{2} - {c}^{2} > 0$,

设$a^2 - c^2 = b^2 \left(b > 0\right)$, 代入(6.1)式得

$b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$

两边同除$a^2b^2$得

$\overline{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1...(6.2)}$

这就是 椭圆的标准方程 。

根据方程推断椭圆性质

重要说明 下面将根据椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \left(a > b > 0\right)$来推断椭圆的性质。利用所学过的函数的 奇偶性、对称性、单调性和导数的意义 的概念，即使我们从未接触过椭圆，但是根据他的函数特点，就应该能推断他的性质，这是新高考压轴题常见考点。

椭圆的对称性

首先，由于椭圆方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$中只含有$x,y$的平方，故把一个坐标变号，对于方程没有影响，这就表明：如果$M\left(x,y\right)$在椭圆上，那么，$M_1\left(x,-y\right)$, $M_2\left(-x,-y\right)$, $M_3\left(-x,y\right)$各点也都在椭圆上，所以 椭圆既是以$x$轴或$y$轴为对称轴的轴对称图形 ， 又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，对称中心又叫做椭圆的中心 。

椭圆的范围

其次，由方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 得

$\frac{x^2}{a^2} \le 1, \frac{y^2}{b^2} \le 1$

即

$-a \le x \le a, -b \le y \le b$

这两个不等式表明椭圆全部包含在如图6.2所示的长方形内。

椭圆的形态

最后，我们来讨论椭圆在第I象限内的性态。由$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$得

$y = \pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}$

在第I象限，椭圆方程可写为

$y = \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2}, 0 \le x \le a$

当$x = 0$时，$y = b$, 当$x$递增时，$y$递减，

当$x = a$时，$y = 0$, 因此椭圆在第I象限内的轨迹大致是$B_2A_2$这部分曲线，再由对称性可画出整个椭圆的图象（图6.2）。

椭圆的长半轴与短半轴

当$y = 0$, $x = \pm a$, 点$A_1\left(-a,0\right)$, $A_2\left(+a,0\right)$ 是$x$轴上距$y$轴最远的两个点.

当$x = 0$, $y = \pm b$, 点$B_1\left(0,-b\right)$, $B_2\left(0,+b\right)$是$Y$轴上距$X$轴距离最远的两个点。

这四点，$A_1$、$A_2$、$B_1$、$B_2$叫做 椭圆的顶点 。

$\stackrel{―}{A_1A_2},\stackrel{―}{B_1B_2}$分别叫做椭圆的 长轴 和 轴短 。令 $\stackrel{―}{A_1A_2} = 2a$, $\stackrel{―}{B_1B_2} = 2b$, $a$和$b$分别叫做椭圆的 长半轴 长和 短半轴 长。

长轴和短轴的交点叫做 椭圆的中心 。

长半轴和短半轴就像孙悟空带的紧箍咒，牢牢限制了椭圆的范围。

圆是特殊的椭圆

如果$a = b$, 那么椭圆方程就化为

$x^2 + y^2 = a^2$

这时椭圆成为圆，$c = \sqrt{a^2 - b^2} = 0$, 即椭圆的两个焦点重

合于圆心，因此可以说 圆是椭圆的特殊情形 。

椭圆的离心率

由以上讨论可以看出，椭圆的形状依赖于$a$和$b$, 参考下图

$a,b,c$组成了一个直角三角形。

a:椭圆半长轴长

b:椭圆半短轴长

c:椭圆的焦点长

根据勾股定理，$c = \sqrt{a^2 - b^2}$可表示出椭圆离开圆的偏差。由$c^2 = a^2 - b^2$

可得

$\frac{c}{a} = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2}, \frac{b}{a} = \sqrt{1 - \left(\frac{c}{a}\right)^2}$

比值

$\overline{e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}}$

叫做 椭圆的离心率 ，用它可同样来表出椭圆的形状。由$c < a$, 可知$e < 1$, 当离心率愈来愈大时，也就是愈来愈接近1时，$1 - e^2$就越小，椭圆的形状就愈扁平；反之，就愈接近于圆，当$e = 0$时，$a = b$椭圆就成为圆了。

看到“率”就要想到“比值”，比如速率是路程比时间，斜率是y比x，因此离心率，至少表示两个意思，一是他是一个比值，是c比a；二、离心顾名思义就是离开中心的意思，这里的“心”就是坐标中心，所以，离心率越大，表示他离开椭圆中心就越远，自然椭圆就越扁。

上面解释主要是方便理解，离心率通常认为和“离心力”对应的，根据牛顿的万有引力，当天地运动时，会受到向心力的作用，这个力被称作离心力(离开中心的力)，而离心率就是一个比值。

椭圆焦点在Y轴上

如果椭圆的中心在原点，焦点在$Y$轴上，那么长轴也定在$Y$轴上，这时两个焦点$F_1,F_2$的坐标分别是$\left(0,-c\right)$,$\left(0,c\right)$ (图6.3), 求得圆的标准方程是

$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 a \ge b > 0$

把方程(6.2)的变量$x$和$y$互换就可得到方程(6.6)。

例题

例1已知椭圆的长轴长是10, 焦距是8, 求椭圆的标准方程。

解：由已知条件得$2a = 10, 2c = 8$，所以：

$a = 5, c = 4, b^2 = a^2 - c^2 = 5^2 - 4^2 = 9$

因此所求椭圆的标准方程为

$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$

例2求椭圆$4x^2 + 9y^2 = 36$的长轴、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标。

解：已知方程可化为

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

这是长轴在$X$轴上，中心在坐标原点的椭圆标准方程。

因此$a = 3$, $b = 2$, $c = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}$, 顶点$A^{'}\left(-3,0\right)$, $A\left(3,0\right)$, $B^{'}\left(0,-2\right)$, $B\left(0,2\right)$. 焦点$F_1\left(-\sqrt{5},0\right)$, $F_2\left(\sqrt{5},0\right)$。

离心率$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{3}$。如下图

例3我国第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，卫星的近地点与地球表面距离为439公里；远地点与地球表面距离为2384公里，已知地球半径约为6371公里，试求卫星轨道的近似方程及其离心率。

解： 设地球中心$F_2$在$X$轴上（图6.5），

所求方程为

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

依题意

$\begin{array}{rl}
\stackrel{―}{A_1F_2} & = a + c = 6371 + 2284 = 8755 \
\stackrel{―}{A_2F_2} & = a - c = 6371 + 439 = 6810
\end{array}$

由以上两式联立

求解得

$a = 7782.5, c = 972.5, b = \sqrt{a^2 - c^2} = 7721.5$

所以，所求卫星轨道的近似方程为

$\frac{x^2}{(7782.5)^2} + \frac{y^2}{(7721.5)^2} = 1$

其离心率

$e = \frac{c}{a} \approx 0.125$