如何判断极限是否存在及求极限的方法

如何判断极限是否存在及求极限的方法

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极限是数学中的一个重要概念，它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。判断极限是否存在以及如何求极限是学习高等数学的基础。本文将详细介绍判断极限存在性的方法、极限的性质以及求极限的具体方法。

判断极限存在性的方法

判断极限是否存在，主要考虑左右极限。极限存在的充分必要条件是左右极限都存在，且相等。极限不存在的条件包括：当左极限与右极限其中之一不存在或者两个都不存在；左极限与右极限都存在，但是不相等。

极限的性质

1. 唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2. 有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列：“1，-1，1，-1，……，(-1)^n+1”
3. 保号性。
4. 保不等式性：设数列{xn}与{yn}均收敛。若存在正数N，使得当n>N时有xn≥yn，则（若条件换为xn>yn，结论不变）。
5. 和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn}，{yn}都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn}的极限和{yn}的极限的和。
6. 与子列的关系：数列{xn}与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn}收敛的充要条件是：数列{xn}的任何非平凡子列都收敛。

求极限的六种方法

1. 两个重要极限
2. 等价替换：等价替换又称为等价无穷小替换。
   
3. 无穷小乘以有界量等于无穷小
4. 洛必达法则：主要有0/0型和∞/∞两种类型。
5. 夹逼准则：如果yn
6. 单调有界定理：在计算题中，单调有界定理用的不多。但是如果遇到，则因为用的少，就会很容易让人想不起来。因此，最好记下，时刻提醒自己有这个定理。所谓单调有界定理就是指，单调且有界的数列必有极限，对于函数也一样，单调且有界的趋近过程也必有极限。