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排列的概念、计算方法及其应用

创作时间:

作者:

@小白创作中心

排列的概念、计算方法及其应用

引用

来源

https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=200

排列是组合数学中的一个基本概念，广泛应用于概率论、统计学等领域。本文将从具体问题出发，逐步讲解排列的概念、计算方法及其在实际问题中的应用。

引入

①平面上有 5 个不同的点 $A,B,C,D,E$ ，以其中两个点为端点的有向线段共有多少条？

分析要解决这个问题，可以分 2 个步骤完成。

第一步，确定有向线段的起点，在 5 个字母中任取 1 个，有 5 种方法；

第二步，确定有向线段的终点，从余下的 4 个字母中任取 1 个，有 4 种方法．

根据分步乘法计数原理，共可得到 $5×4=20$（条）不同的有向线段，如图 4．2－1所示．

由此可写出所有的有向线段：

$\begin{array}{rl}& AB,AC,AD,AE;\\ & BA,BC,BD,BE;\\ & CA,CB,CD,CE;\\ & DA,DB,DC,DE;\\ & EA,EB,EC,ED\end{array}$

② 从4名运动员中选出3名参加一项比赛，并排定他们的比赛顺序，有多少种不同的方法？

分析要解决这个问题，可以分 3 个步骤完成．

第一步，先选定第一名比赛队员，在 4 名运动员中任取 1 名，有 4 种方法；

第二步，选定第二名比赛队员，从余下的 3 名运动员中任取 1 名，有 3 种方法；

第三步，选定第三名比赛队员，从余下的 2 名运动员中任取 1 名，有 2 种方法．

根据分步乘法计数原理，共有 $4×3×2=24$（种）不同的排序方法．

若记这 4 名运动员分别为 $a,b,c,d$ ，则 24 种不同的方法如图 4．2－2 所示．

由此可写出所有的排序方式：

$\begin{array}{rl}& abc,abd,acb,acd,adb,adc;\\ & bac,\text{bad, bca, bcd, bda, bdc;}\\ & \text{cab, cad, cba, cbd, cda, cdb;}\\ & \text{dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.}\end{array}$

问题 1 与问题 2 的共同特点是什么？你能将其推广到一般情形吗？

排列

一般地说，从 $n$ 个不同的元素中任意选取 $m\left(m\le n\right)$ 个元素，按照一定的顺序排成一列, 叫做从 $n$ 个元素中取出 $m$ 个元素的一个排列.

例如：由 $1,2,3$ 三个数字中选取两个数字写成两位数, 那么 $1,2,3$ 都被看作是排列的元素。而 12 与 21 显然都是由 1,2 两个元素得到的不同的排列. 同样, $12,21,13,31,23,32$ 等都被认为是不同的排列. 只有用相同的元素, 又是按相同的顺序排列而成的排列，才叫做相同的排列，例如：123与 123 就是相同的排列。

例1由数字 $1,2,3,4$ 可以组成多少个没有重复数字的两位数?

解: 要排出两位数, 第一步先要排出十位上的数字 (当然也可以先排个位上的数字)，第二步是确定个位上的数字.

显然, 第一步在十位的位置上, $1,2,3,4$ 都可以放, 故有四种不同的方法.

第二步是放个位上的数字, 由于在第一步结束时, 剩下的只有 3 个数字,因此第二步只能有 3 种不同的选择。因此个位与十位上的数的排列工作都结束后, 这个两位数才算排出来, 所以, 用乘法原理计算得: $4×3=12$. 即以 $1,2,3,4$ 可以排出 12 个不同的两位数.

例 $2.2a,b,c,d$ 四个元素, 每次取出三个元素的不同排列有多少种, 并写出所有的排列. (在同一排列里, 元素不能重复出现.)

解: 要把取出的三个元素排成一列, 要分三步完成. 第一步先在第一个位置上放一个元素, 应该有四种不同的方法; 第二步要在第二个位置上放一个元素, 由于第一步的工作完成后剩下的是三个元素，从三个元素中选一个放在第二个位置上应有 3 种不同的方法；第三步要在第三个位置上放一个元素，由于前两步工作完成后只剩下两个元素，所以只有两种不同的方法。三步工作都完成后才完成排列工作, 因此应该用乘法原理计算排列的总数, 所以共有: $4×4×3×2=24$种不同的排列. 即有如下的 24 种不同的排列:

一般地说, 从 $n$ 个不同元素中, 任取 $m$ 个 $\left(m\le n\right)$ 元素 (不许重复), 按照一定顺序排成一列的个数, 叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数,用符号表示 ${\mathrm{P}}_{n}^{m}$.

排列定理1

从 $n$ 个不同元素中, 任取 $m$ 个 $\left(m\le n\right)$ 没有重复的元素的排列数为

$\overline{){\mathrm{P}}_{n}^{m}=n\left(n-1\right)\cdots \left(n-m+1\right)}$

证明: 在取出 $m$ 个元素排成一列时, 首先在第一个位置上可以选 $n$ 个元素中的任何一个, 故有 $n$ 种方法. 在第二个位置上可以选余下的 $n-1$ 个元素中的任一个. 如此类推, 在第 $m$ 个位置上可以选余下的 $\left(m-1\right)$ 个元素中的任一个. 根据乘法原理得到总的不同排列数应该是

${\mathrm{P}}_{n}^{m}=m\left(n-1\right)\cdots \left(m-m+1\right)$

这里的 $m$ 是自然数, 并且 $m\le n$, 这个公式就叫做 排列数公式 .

特别是当 $m=n$ 时有

${\mathrm{P}}_{n}^{n}=n\left(n-1\right)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$

这表示, $n$ 个不同的元素全部取出参加排列的排列数, 叫做 $n$ 个不同元素的 全排列 , 自然数 1 到 $n$ 的连乘积叫做 $n$ 的阶乘, 用 $n!$ 表示, 所以全排列数公式又可以写成

$\overline{){\mathrm{P}}_{n}^{n}=n!}$

有了阶乘, 排列数公式又可以写成

$\overline{){\mathrm{P}}_{n}^{m}=\frac{n!}{\left(n-m\right)!}}$

这里, 当 $m=n$ 时, 分母出现 $\left(n-m\right)$ ! 就变成 $0!$, 为了使公式仍能成立,

我们特别规定 $0!=1$.

例如 ${\mathrm{P}}_{8}^{5}=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=6720,{\mathrm{P}}_{5}^{5}=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$

例2试证明下列等式成立。

(1) ${\mathrm{P}}_{n}^{m}+m\cdot {\mathrm{P}}_{n}^{m-1}={\mathrm{P}}_{n+1}^{m}\phantom{\rule{1em}{0ex}}\left(m\le n\right)$

(2) ${\mathrm{P}}_{n+1}^{n+1}-{\mathrm{P}}_{n}^{n}={n}^{2}\cdot {\mathrm{P}}_{n-1}^{n-1}$

证明：

(1)

$\begin{array}{rl}{\mathrm{P}}_{n}^{m}+m\cdot {\mathrm{P}}_{n}^{m-1}& =\frac{n!}{\left(n-m\right)!}+m\cdot \frac{n!}{\left(n-m+1\right)!}\\ & =\frac{\left(n-m+1\right)\cdot n!+m\cdot n!}{\left(n-m+1\right)!}=\frac{\left(n+1\right)\cdot n!}{\left(n-m+1\right)!}\\ & =\frac{\left(n+1\right)!}{\left[\left(n+1\right)-m\right]!}={\mathrm{P}}_{n+1}^{m}\end{array}$

所以原等式成立.

(2)

$\begin{array}{rl}{\mathrm{P}}_{n+1}^{n+1}-{\mathrm{P}}_{n}^{n}& =\left(n+1\right)!-n!=\left(n+1\right)\cdot n!-n!\\ & =n\cdot n!={n}^{2}\cdot \left(n-1\right)!\\ & ={n}^{2}\cdot {\mathrm{P}}_{n-1}^{n-1}\end{array}$

所以原等式成立.

例3用 0 到 9 十个数字，可以写出多少个没有重复数的三位数? 其中有多少个是偶数?

解:

(1) 第一步, 因为 0 不能放在百位的位置上, 所百位上的数有 9 种不同的选法,第二步是从余下的九个数字中任选两个数字放在十位个位上, 这有 ${\mathrm{P}}_{9}^{2}$ 种方法. 所以

$9\cdot {\mathrm{P}}_{9}^{2}=9\cdot 9\cdot 8=648$

(2) 要得到三位偶数，必须个位上的数是 $0,2,6$ 或 8 . 但是 0 又不能排在百位上，这说明 0 怎样放在适合的置上是比其他问题要求更高的。所以我们还是把 0 元素的题先解决.

第一类， 0 放在个位上这一选法确定后，其余百位、十位可以从余下的九个数字中任选两个数字放上去，这有 ${\mathrm{P}}_{9}^{2}$ 种方法.

第二类, 个位上可放 $2,4,6,8$ 中的任一个，在这类方法中，第一步在个位上有 4 种选法，第二步，在百位上可以放除 0 以外所余的八个字数的任一个，故有八种选择方法. 第三步, 余下的八个数字均可以放在十位上, 所以

${\mathrm{P}}_{9}^{2}+4×8×{\mathrm{P}}_{8}^{1}=72+256=328$

答：有 648 个没有重复数字的三位数，其中有 328 个是偶数。

关于上例中的第一个问题, 我们还可以有如下的解法：

从 0 到 9 十个数字中任选三个数字排列总数为 ${\mathrm{P}}_{10}^{3}$. 但是其中 0 在百位上的数有 ${\mathrm{P}}_{9}^{2}$ 个. 所以