揭秘“将军饮马”问题：如何运用对称性思维解题？

揭秘“将军饮马”问题：如何运用对称性思维解题？

在数学的世界中，对称性思维是一种强大的解题工具。从代数到几何，从基础数学到高等数学，对称性思维都能帮助我们找到问题的突破口。本文将通过一个具体的中考题目，详细讲解如何运用对称性思维来解决"将军饮马"问题。

在几何题中寻找对称性这个思维理应自然而然，不像我们这个对称性专题中代数问题显得不那么直观，毕竟视觉直观性带来了无可比拟的优势。提到几何中的对称性，不得不提将军饮马这个经典的问题。

其实，无论阿氏圆、胡不归、将军饮马等等，其本质都是寻找两点之间最短路径，最终的目标都是转化为寻找一条直线。

如图，在直线上l找一点P，使得PA+PB最小。这就是将军饮马简化模型。

目标很简单，要想知道PA+PB何时最小，我们只需要想办法将其转化到一条直线上。由于，PA和PB两条线都在直线l的同一侧，所以，我们向着对称性出发，使其处于直线l的异侧，寻找A的对称点A'。

这样的话，PA+PB何时最小的问题就转化为了PA'+PB何时最小，当A'、P、B三点共线时PA'+PB最小，即PA+PB最小。

我们通过一道具体的问题，一道2021青海中考题。

（2021青海中考）如图，正方形的边长是4，M在DC上，DM=1,N是AC边上的一个动点，则ΔDMN周长的最小值是？

首先分析题目，要求的是ΔDMN的周长，ΔDMN周长=DN+DM+MN的最小值，由于DM是固定值为1，所以，问题就转化为DN+MN的值何时最小。那么，我们目标又变得非常明确，寻找一条直线，使得问题得以转化。

由于，DN和MN两条线在同一侧，所以，我们向着对称性出发，使其处于异侧，这样便可实现转化到一条直线上的目标。

在正方形ABCD中，点B和点D关于AC对称，连接BN。在正方形ABCD中，AB=AD,∠BAC=∠DAC,AN共线，所以，ΔABN≌ΔADN,所以，BN=DN。

所以，这个问题进一步转化为BN+MN何时最小。我们知道，当B、N、M三点共线时BN+MN最小。BC=4,MC=3,由勾股定理可知，BM=5。所以，最终结果，当B、N、M三点共线时BN+MN最小，得出ΔDMN周长=DN+DM+MN=BN+MN+DM=BM+DM=5+1=6。

随着，我们在数学的世界中畅游，我们会发现一种更加普遍的思维方式——对称性思维。对称性在日常工作生活中，在自然界中到处可见，向着对称性出发，我们能够理解这种解法的思维落点。

对称性思维在数学解题中应用也是非常广泛，这篇文章是对称性思维系列的第七篇文章。

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接下来我还会写一些几何、函数、数列、概率、微积分等方面的题，一起揭秘一下对称性思维与这些题能碰撞出什么样的火花。可能还会给大家介绍一些对称性思维在物理、化学等学科中的应用。