相似三角形
相似三角形
相似三角形是平面几何中的重要概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理学中扮演着关键角色。本文将详细介绍相似三角形的定义、性质、判定方法及其在实际问题中的应用。
定义
若一个三角形的所有内角分别等于另一个三角形的所有内角，且两个三角形对应边成比例，则称这两个三角形是相似的。
性质
相似比
若两三角形相似，则这两个三角形的对应角相等，对应边成比例。其中，两相似三角形中任意一组对应边的比例成为这两个相似三角形的相似比。特别地，全等三角形也是相似三角形，其相似比为1。
高
若两三角形相似，则这两个三角形的对应边上的高成比例且其比例等于相似比。
周长与面积
若两三角形相似，则这两个三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
位似
若两三角形相似且满足：对应点连线所在直线过同一点；三对对应点或在点的同侧，或在点的异侧；对应点到点的距离之比相等，则称这两个三角形关于点位似。
位似的三角形
位似三角形对应点到点的距离之比称作它们的位似比。位似比和相似比的数值相等。两个位似三角形内部的任意对应点到点的距离之比也等于位似比，且它们的连线所在直线也过点。
判定
判定定理1（AA）
若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似。
判定定理2（SAS）
若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似。
判定定理3（SSS）
若两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
判定定理4（HL）
若两直角三角形的斜边和一条直角边的比例相等，则这两个直角三角形相似。
判定定理的证明可参考词条：相似三角形判定定理。
应用举例
例1：求底角为的等腰三角形，底边和腰的长度比值
解：不妨设是以为顶角的等腰三角形，其底角。
应用举例1图
作的平分线交边于点，则可得。又由，可知。
由相似三角形对应边的比例关系可知
令长度为，则有，
。
在中，，故而。
代入即得方程
解之得舍去负根即得。
此外，同理可求得底角为的等腰三角形，腰和底边的长度比值为。上述所求得的比值被称为“黄金分割比”，这两种三角形统称为“黄金三角形”。
例2：透镜成像的高斯公式
其中为点光源的物距，为像距，为透镜的焦距。
应用举例2图
证明：令原物体的高度为，像的高度是。
由可知，故由相似三角形对应边的比例关系可得
即
同理可知，则
即
故而可得
该公式得证。
例3：直角三角形中的射影定理
借由相似三角形可以证明直角三角形中的射影定理：直角三角形斜边上的高，是两直角边在斜边上投影的等比中项。
例4：平行线等分线段定理
借由相似三角形可以证明平行线等分线段定理：一组平行线截一条直线所得线段长度相等，那么截任意直线所得线段长度均相等。类似地，有平行线分线段成比例定理：两条直线与一组平行线相交,那么它们被这组平行线截得的对应线段成比例。
例5：三角形的内切三角形和旁心三角形位似
三角形的内切三角形（即内切圆与三角形的切点组成的三角形）和旁心三角形位似。
应用举例5图
三角形内切三角形和旁心三角形的位似中心为中心的等角共轭，且位似比满足
其中是的三边长度。
上述三个命题的证明过程在此略去。
本文原文来自百度百科