高等数学观点下的中学数学教学

高等数学观点下的中学数学教学

从中学数学到高等数学的转变，并非螺旋式渐进，而是近乎直线式的跳跃。高等数学缺乏与中学数学的直接联系，这导致教师难以将高等数学的概念有效地运用于中学教学实践中。

张奠宙教授指出，在高师院校的教学往往忽视了与中学数学教学的实际联系。例如，在教授实变函数论时，课程可能过分侧重于勒贝格测度和积分的理论，而忽略了这些概念与中学数学中更为直观的面积、体积概念之间的联系。

在中学数学教学中，一些问题难以仅凭中学数学的知识和视角来解决，这可能需要高等数学的更深层次的理解。例如，大学抽象代数中的“欧氏环”理论，是理解中学代数中多项式因式分解等问题的基石。然而，并非所有学习过这一理论的学生都能清晰地解释因式分解的几个基本问题，如因式分解的可能性、程度、结果的唯一性，以及与整数素因数分解的关系等。

中学数学教材通常采用描述性方法，理论上不够严谨，内容深度和广度有限，这在一定程度上符合中学生的教学目标和年龄特点。然而，对于中学数学教师而言，仅仅掌握教材中的必修和选修内容是不足的。即使在现行教材的知识范围内，如果缺乏高等数学的知识背景，一些问题可能仍然难以清晰解释。因此，对于中学数学教师来说，深化对高等数学的理解对于提高教学质量和解决教学中的疑问至关重要。

克莱因认为教师应具备较高的数学观点。理由是，观点越高，事物越显得简单。例如在实数域里不好理解的某些东西，从复数域的观点看，就清楚了；在欧氏空间里某些不好解释的现象，从射影空间的观点看，就有满意的说明。下面分别举两个具体的例子。

克莱因指出，在中学，关于对数的传统讲法是有明显漏洞的。他建议把对数函数作为等角双曲线下的面积来引进，既简单又明确。他又指出，在复数域里，对数是多值函数，作为实函数的对数只是其中无数多个值之一。所以，在复数域里，对数函数的本质才看得清楚。我们的教师，无论是否愿意（或可能）采纳克莱因所建议的引进对数方式，有一点是可以肯定的：如果他了解作为复数的对数函数，当他讲实数时，就会心中有数，有可能弥补漏洞，至少当学生提出疑问时，他能正确回答，应付裕如。

中学几何是欧氏几何，但也涉及图形的仿射性质（如三角形的重心）和射影性质（如三点共线）。如果教师能区别各种性质，在教学中自然是有利的。克莱因举了一个例子来说明局限在欧氏空间就不好理解的现象：两个二阶曲面一般相交于一条四阶曲线，但两个球面（二阶曲面）一般只相交于一个（实的或虚的）圆（二阶曲线）。原来，从射影空间观点看，可以认为，两个球面还相交于“无穷远虚圆”，而两个圆在一起，恰好构成一条（退化的）四阶曲线。