间断点的分类及判断方法

间断点的分类及判断方法

引用

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http://www.gaosan.com/gaokao/833483.html

间断点是函数分析中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的不连续性。本文将详细介绍间断点的分类及其判断方法，并通过具体示例帮助读者深入理解这一概念。

间断点的类型

在不连续函数中，函数值出现中断现象的点称为间断点。间断点的类型可分为以下几类：

第一类间断点

• 存在左右极限，且相等。称为可去间断点。
• 例如：函数 $y = \frac{x^2 - 1}{x-1}$ 在点 $x = 1$ 处。

第二类间断点

• 存在左右极限，但不相等。称为跳跃间断点。
• 例如：函数 $y = \frac{|x|}{x}$ 在点 $x = 0$ 处。

第三类间断点

• 至少一个极限不存在。称为无穷间断点。
• 例如：函数 $y = \tan x$ 在点 $x = \frac{\pi}{2}$ 处。

第四类间断点

• 左右极限都存在，但当自变量趋近该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。称为振荡间断点。
• 例如：函数 $y = \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ 在点 $x = 0$ 处。

判断间断点类型的步骤：

1. 确定该点处函数是否无定义。
2. 计算该点处的左右极限。
3. 根据左右极限的情况判断间断点类型。

注意：

• 第一、二类间断点合称为非无穷间断点。
• 第三、四类间断点合称为无穷间断点。

间断点的判断方法

函数$f(x)$在第一类间断点的左右极限都存在，而函数$f(x)$在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。

1. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数$y=\frac{x^2-1}{x-1}$在点$x=1$处。
2. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数$y=\frac{|x|}{x}$在点$x=0$处。
3. 无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数$y=\tan x$在点$x=\frac{\pi}{2}$处。
4. 振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数$y=\sin\left(\frac{1}{x}\right)$在$x=0$处。
5. 可去间断点和跳跃间断点为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点为第二类间断点。

扩展资料

1. 狄利克雷函数
   在定义域R上每一点$x$为第二类间断点。

2. 函数
   仅在点$x=0$连续，$x≠0$时为第二类间断点。

3. 整数部函数$y=[x]$，与小数部函数$y=x-[x]$，都是在$x$为整数时为第一类不可去间断点，在这些点仍是右连续的。

4. 黎曼函数
   在每一个无理点都连续，而在异与零的有理点都不连续。

5. 函数
   在点$x=0$附近函数振荡而无极限，$x=0$为它的第二类间断点。

6. 函数
   在点$x=0$为可去间断点，并且

7. 函数
   在点$x=0$为可去间断点。

8. 函数
   在点$x=0$为第二类间断点。