深度学习基础：多层感知机的前向传播与反向传播详解

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@小白创作中心

深度学习基础：多层感知机的前向传播与反向传播详解

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https://cloud.tencent.com/developer/article/2491522

多层感知机（MLP）是深度学习中最基本的神经网络模型之一，其核心算法包括前向传播和反向传播。本文将深入探讨这两个关键过程的细节，帮助读者理解深度学习模型的训练原理。

一、前向传播

前向传播（forward propagation或forward pass）指的是：按顺序（从输入层到输出层）计算和存储神经网络中每层的结果。

我们将一步步研究单隐藏层神经网络的机制，为了简单起见，我们假设输入样本是 $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^d$，并且我们的隐藏层不包括偏置项。这里的中间变量是：
$$
\mathbf{z}= \mathbf{W}^{(1)} \mathbf{x} \tag{1}
$$
其中 $\mathbf{W}^{(1)} \in \mathbb{R}^{h \times d}$ 是隐藏层的权重参数。将中间变量 $\mathbf{z}\in \mathbb{R}^h$ 通过激活函数 $\phi$ 后，我们得到长度为 $h$ 的隐藏激活向量：
$$
\mathbf{h}= \phi (\mathbf{z}) \tag{2}
$$

隐藏变量 $\mathbf{h}$ 也是一个中间变量。假设输出层的参数只有权重 $\mathbf{W}^{(2)} \in \mathbb{R}^{q \times h}$，我们可以得到输出层变量，它是一个长度为 $q$ 的向量：
$$
\mathbf{o}= \mathbf{W}^{(2)} \mathbf{h} \tag{3}
$$

假设损失函数为 $l$，样本标签为 $y$，我们可以计算单个数据样本的损失项：
$$
L = l(\mathbf{o}, y) \tag{4}
$$

根据 $L_2$ 正则化的定义，给定超参数 $\lambda$，正则化项为
$$
s = \frac{\lambda}{2} \left(|\mathbf{W}^{(1)}|_F^2 + |\mathbf{W}^{(2)}|_F^2\right) \tag{5}
$$
其中矩阵的Frobenius范数是将矩阵展平为向量后应用的 $L_2$ 范数。最后，模型在给定数据样本上的正则化损失为：
$$
J = L + s \tag{6}
$$

在下面的讨论中，我们将 $J$ 称为目标函数（objective function）。

二、前向传播计算图

绘制计算图有助于我们可视化计算中操作符和变量的依赖关系。图1是与上述简单网络相对应的计算图，其中正方形表示变量，圆圈表示操作符。左下角表示输入，右上角表示输出。注意显示数据流的箭头方向主要是向右和向上的。

图1 前向传播的计算图

三、反向传播

反向传播（backward propagation或backpropagation）指的是计算神经网络参数梯度的方法。简言之，该方法根据微积分中的链式规则，按相反的顺序从输出层到输入层遍历网络。该算法存储了计算某些参数梯度时所需的任何中间变量（偏导数）。假设我们有函数 $\mathsf{Y}=f(\mathsf{X})$ 和 $\mathsf{Z}=g(\mathsf{Y})$，其中输入和输出 $\mathsf{X}, \mathsf{Y}, \mathsf{Z}$ 是任意形状的张量。利用链式法则，我们可以计算 $\mathsf{Z}$ 关于 $\mathsf{X}$ 的导数
$$
\frac{\partial \mathsf{Z}}{\partial \mathsf{X}} = \text{prod}\left(\frac{\partial \mathsf{Z}}{\partial \mathsf{Y}}, \frac{\partial \mathsf{Y}}{\partial \mathsf{X}}\right) \tag{7}
$$

在这里，我们使用 $\text{prod}$ 运算符在执行必要的操作（如换位和交换输入位置）后将其参数相乘。对于向量，这很简单，它只是矩阵-矩阵乘法。对于高维张量，我们使用适当的对应项。运算符 $\text{prod}$ 指代了所有的这些符号。

回想一下，在计算图1中的单隐藏层简单网络的参数是 $\mathbf{W}^{(1)}$ 和 $\mathbf{W}^{(2)}$。反向传播的目的是计算梯度 $\partial J/\partial \mathbf{W}^{(1)}$ 和 $\partial J/\partial \mathbf{W}^{(2)}$。为此，我们应用链式法则，依次计算每个中间变量和参数的梯度。计算的顺序与前向传播中执行的顺序相反，因为我们需要从计算图的结果开始，并朝着参数的方向努力。第一步是计算目标函数 $J=L+s$ 相对于损失项 $L$ 和正则项 $s$ 的梯度。
$$
\frac{\partial J}{\partial L} = 1 ; , ; \frac{\partial J}{\partial s} = 1 \tag{8}
$$

接下来，我们根据链式法则计算目标函数关于输出层变量 $\mathbf{o}$ 的梯度：
$$
\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial L}, \frac{\partial L}{\partial \mathbf{o}}\right) = \frac{\partial L}{\partial \mathbf{o}} \in \mathbb{R}^q \tag{9}
$$

接下来，我们计算正则化项相对于两个参数的梯度：
$$
\frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(1)}} = \lambda \mathbf{W}^{(1)} ; , ; \frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(2)}} = \lambda \mathbf{W}^{(2)} \tag{10}
$$

现在我们可以计算最接近输出层的模型参数的梯度 $\partial J/\partial \mathbf{W}^{(2)} \in \mathbb{R}^{q \times h}$。使用链式法则得出：
$$
\frac{\partial J}{\partial \mathbf{W}^{(2)}}= \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}}, \frac{\partial \mathbf{o}}{\partial \mathbf{W}^{(2)}}\right) + \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial s}, \frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(2)}}\right)= \frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}} \mathbf{h}^\top + \lambda \mathbf{W}^{(2)} \tag{11}
$$

为了获得关于 $\mathbf{W}^{(1)}$ 的梯度，我们需要继续沿着输出层到隐藏层反向传播。关于隐藏层输出的梯度 $\partial J/\partial \mathbf{h} \in \mathbb{R}^h$ 由下式给出：
$$
\frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}}, \frac{\partial \mathbf{o}}{\partial \mathbf{h}}\right) = {\mathbf{W}^{(2)}}^\top \frac{\partial J}{\partial \mathbf{o}} \tag{12}
$$

由于激活函数 $\phi$ 是按元素计算的，计算中间变量 $\mathbf{z}$ 的梯度 $\partial J/\partial \mathbf{z} \in \mathbb{R}^h$ 需要使用按元素乘法运算符，我们用 $\odot$ 表示：
$$
\frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}}, \frac{\partial \mathbf{h}}{\partial \mathbf{z}}\right) = \frac{\partial J}{\partial \mathbf{h}} \odot \phi'\left(\mathbf{z}\right) \tag{13}
$$

最后，我们可以得到最接近输入层的模型参数的梯度 $\partial J/\partial \mathbf{W}^{(1)} \in \mathbb{R}^{h \times d}$。根据链式法则，我们得到：
$$
\frac{\partial J}{\partial \mathbf{W}^{(1)}} = \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}}, \frac{\partial \mathbf{z}}{\partial \mathbf{W}^{(1)}}\right) + \text{prod}\left(\frac{\partial J}{\partial s}, \frac{\partial s}{\partial \mathbf{W}^{(1)}}\right) = \frac{\partial J}{\partial \mathbf{z}} \mathbf{x}^\top + \lambda \mathbf{W}^{(1)} \tag{14}
$$

四、训练神经网络

在训练神经网络时，前向传播和反向传播相互依赖。对于前向传播，我们沿着依赖的方向遍历计算图并计算其路径上的所有变量。然后将这些用于反向传播，其中计算顺序与计算图的相反。

以上述简单网络为例：一方面，在前向传播期间计算正则项（式(5)）取决于模型参数 $\mathbf{W}^{(1)}$ 和 $\mathbf{W}^{(2)}$ 的当前值。它们是由优化算法根据最近迭代的反向传播给出的。另一方面，反向传播期间参数（式(11)）的梯度计算，取决于由前向传播给出的隐藏变量 $\mathbf{h}$ 的当前值。

因此，在训练神经网络时，在初始化模型参数后，我们交替使用前向传播和反向传播，利用反向传播给出的梯度来更新模型参数。注意，反向传播重复利用前向传播中存储的中间值，以避免重复计算。带来的影响之一是我们需要保留中间值，直到反向传播完成。这也是训练比单纯的预测需要更多的内存（显存）的原因之一。此外，这些中间值的大小与网络层的数量和批量的大小大致成正比。因此，使用更大的批量来训练更深层次的网络更容易导致内存不足（out of memory）错误。