二元函数极限不会求？1h全面入门到精通！

二元函数极限不会求？1h全面入门到精通！

本文将全面讲解二元函数极限的计算方法和相关概念，包括二重极限的定义、证明极限不存在的方法、计算二重极限的技巧以及二元函数的连续性等。通过多个例题展示不同方法的应用，适合正在学习高等数学的学生阅读。

1️⃣二重极限定义

二重极限的定义如下：

lim(x, y)→(x₀, y₀)f(x, y) 或 lim x→x₀，y→y₀ f(x, y) =A

具体来说：

∀ε>0，∃δ>0，当0<√(x-x₀)² +(y-y₀)² <δ时，恒有|f(x, y)-A| <ε

注：只有当动点P(x, y)以任何方式无限趋于点P₀(x₀, y₀)时，f(x, y)都无限趋于一个常数A二重极限才存在.

2️⃣证明二重极限不存在

证明二重极限不存在有以下几种方法：

①单路径法：找到某一条P→P₀的路径，极限值不存在

②两路径法：找到P→P₀的两条不同路径，极限值不相等.

③y = kxᵖ路径法：极限值与k有关.

④极坐标换元法：p→0⁺时，极限值与θ有关.

【例1】证明下列极限不存在

（1）单路径法：分母可取0

令y=x

若找到P→P的任意条路径，f (x, y)都趋于A，可以说明f→A

（2）

法一：两路径法

• 令y=x，A=½
• 令y=-x，A=-½

法二👍：令y=kx→0，k∈R

• 上下同时约x²，得到的极限与K有关，故极限不存在

法三：极坐标换元

• 令x=ρcosθ，y=ρsinθ
• ρ→0⁺，∀θ
• 极限与θ有关，原极限不存在

（3）xy不齐，尽量用直角坐标

先把次数弄齐，令x=ky²（低次转高次方便）

结果与K有关，故极限不存在

好用结论

分母可取0的极限，一般极限不存在

m和n中有奇数时，极限不存在.

m和n全为偶数时，

验证（4）极限不存在

法一：分母可取0，用单路径

• 令分母为0，y=x+x²
• 代入，分子的x²是等价无穷小约掉，分子分母同时约掉x
• 极限∞，不存在

法二：极坐标法

• 极限与θ有关，故不存在

特殊路径中，不能写“原式=”

3️⃣计算二重极限

计算二重极限的方法包括：

1. 由连续性直接代值 f(x)→f(x₀)
2. 等价无穷小代换、四则运算法则
3. 0·有界变量→0
4. 夹逼准则
5. 唯一性，局部有界性，保号性
6. 极坐标代换法（θ可取【0, 2π），极限与θ无关）

4️⃣二元函数的连续性

设函数f(x, y)在D上有定义，D内的每一点都是函数定义域的聚点，如果函数f(x, y)在D的每一点都连续，则称函数f(x, y)在D上连续，或者称f(x, y)是D上的连续函数.

注：多元函数的非连续聚点P₀称为间断点，不必判断类型.

多元初等函数：

定义：由常数及有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到
的可用一个式子表示的多元函数.

注：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.

【例2】（类型1：连续点处直接代值求极限）

类似于一元的非未定式，代入

（1, 2）是聚点（但一般不需要考虑）

【例3】（类型2：等价无穷小代换求极限）

（1）x→0时，sinx~x，x再一约

（2）x→0时，eˣ-1~x

• 分母提了个2，(1+x)ᵃ-1~αx

【例4】（类型3：无穷小量·有界变量→0）

x，y趋近于0，但他们取不到，所以就得代入上面的x²+y²≠0

无穷小*有界=0

跟下面的x²+y²=0时，f(x, y)=0一致，所以连续

【例5】（类型4：夹逼准则 / 类型5：极坐标代换法（θ∈【0, 2π），极限与θ无关））

（1）

法一：套绝对值、放缩、

• 分子是分母的一部分≤1
• 而|x|=0，由夹逼准则得到极限=0
• 极限绝对值为0，可以去绝对值

法二：平替👍

• 套绝对值，“0·有界→0”

法三：极坐标换元

• 原理也是0·有界→0
• cosθsinθ是有界的

（2）先用等价无穷小替换

用公式先得到极限是0

找哪个分子是分母的一部分：x²

做放缩的时候，不要动分母

（3）

法一：

• 找谁能跟分母一样的分子
• 再说一下谁是有界的

法二：极坐标

• 这个有界函数的分母范围是【1, √2】

（4）

找哪个分子是分母的一部分

分母最外面有平方的话，拆成两份

无穷小*有界=0

再说一下f(x, y)在(0, 0)连续

5️⃣二次极限

【例5】

二重极限：x和y同步趋于0

二次极限：出现求极限的顺序，固定x，先y→0