极限的夹逼定理及其应用

极限的夹逼定理及其应用

本文将介绍夹逼定理概念、使用条件及运用。

什么是夹逼定理

夹逼定理其定义如下：

设函数(g(x)\le f(x)\le h(x))，如果在自变量的同一变化过程中(\lim g(x)=A,\lim h(x)=A，)则必有：

[\lim f(x)=A ]

这是书上定理，通俗讲就是：函数(A\ge B)，函数(B\le C)，函数(A)的极限是常数(A)，函数(C)的极限也是(A)，那么函数(B)的极限就一定是(A)，这个就是夹逼定理。

夹逼定理使用情况

上面介绍了夹逼定理的基本概念。那么在什么情况下才会需要用到夹逼定理：

夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则，求极限的函数或数列极限。

下面的极限我们不能通过一般方法求出，需要用到夹逼定理：

[\Large ①\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{10^n}{n!} ]

[\Large ②\underset{n\to\infty}{\lim}\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n} ]

[\Large③\underset{n\to\infty}{\lim}\sqrt[n]{1^3+2^3+...+n^3} ]

[\Large④\underset{n\to\infty}{\lim}(\frac{n}{n^2+\pi}+\frac{n}{n^2+2\pi}+...+\frac{n}{n^2+n\pi}) ]

以上极限仅代表部分题型不适用于所有问题。

极限夹逼定理应用

由定义我们可以知道：夹逼定理的思维就是放大和缩小，即把一个复杂的数列放大或缩小成简单的。并且要放大和缩小极限都存在，且相等。以上四个是使用夹逼定理经典例子，我把它分为三类：①一类、②③是一类、④是一类。

第一类极限夹逼定理应用

我们先看最简单的第一类极限(④)。他的特点就是极限有(n)项相加，且都为分式。这类极限比较好缩放。

具体缩放法是我们可以根据分式性质来找到较大的(G(n))和较小的(h(n))。即我们对第一项和最后一项同时放大(n^\alpha)倍，此时较大项(G(n))就是放大(n^\alpha)倍的第一项，较小项(h(n))就是放大(n^\alpha)倍的最后一项。(\alpha)为分母同次幂，其作用是消除多余系数。

具体做法如下：

(\Large求\underset{n\to\infty}{\lim}(\frac{n}{n^2+\pi}+\frac{n}{n^2+2\pi}+...+\frac{n}{n^2+n\pi})极限)

[\begin{equation*} \begin{aligned} \\Large{解：}\ &令G(n)=\frac{n^2}{n^2+\pi},h(n)=\frac{n^2}{n^2+n\pi}\ \ &此时:G(n)\ge\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n^2+\pi}+\frac{n}{n^2+2\pi}+...+\frac{n}{n^2+n\pi})\ge h(n)\ \ &则\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+\pi}=1,\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+n\pi}=1\ \ &\therefore 1\ge\lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n^2+\pi}+\frac{n}{n^2+2\pi}+...+\frac{n}{n^2+n\pi})\ge 1\ \ &\therefore \lim_{n\to\infty}(\frac{n}{n^2+\pi}+\frac{n}{n^2+2\pi}+...+\frac{n}{n^2+n\pi})=1 \end{aligned} \end{equation*} ]

再看一道比较有代表性的例子

(\Large 求\underset{n\to\infty}{\lim}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}))

[\begin{equation*} \begin{aligned} \\Large{解：}\ &和上面一样,对第一项和最后一项乘n\ \ &得G(n)=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}},h(n)=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\ \ &此时:G(n)\ge\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})\ge h(n)\ \ &则\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=1,\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=1\ \ &\therefore 1\ge\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})\ge 1\ \ &\therefore \lim_{n\to\infty}(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}})=1 \end{aligned} \end{equation*} ]

总结：

2. 观察极限({a_n})首项和尾项

3. 通过对首项和尾项放大(n^\alpha)倍，(\alpha)为分母同次幂。分别得到(G(n))和(h(n))

4. 分别对(G(n))和(h(n))求极限，相等即为({a_n})的极限值。

第二类极限定理应用

对于(①)这种极限相除形式，我们可以不用夹逼定理而是通过函数趋势变化解决。变化如下：

当(x\to\infty)时，基本初等函数趋势变化为：(\ln^{\alpha}x\le x^{\beta}\le a^x\le x!\le x^x(其中\alpha>0,\beta>0,a>1))

当(x\to 0)时，基本初等函数趋势变化为：(\ln^{\alpha}x\ge x^{\beta}\ge a^x\ge x!\ge x^x(其中\alpha>0,\beta>0,a>1))

注意：对数函数变化趋势越来越慢，幂函数相对平稳，指数函数变化趋势越来越快。(0!=1)。

基本初等函数变化趋势：

通过函数趋势我们就可以解决这类问题

(\Large求\underset{n\to\infty}{\lim}\frac{10^n}{n!}极限)

[\begin{equation*} \begin{aligned} \\Large{解：}\ &当n\to\infty时,n!趋势比10^n快\ \ &即x!趋近于无穷大,10^n还是一个常数A\ \ &\therefore \lim_{n\to\infty}\frac{10^n}{n!}=\frac{A}{\infty}=0 \end{aligned} \end{equation*} ]

总结：牢记函数变化趋势。

第三类极限夹逼定理应用

第三类极限(②③)是多项式相乘，这种极限不能通过技巧解决。我们需要先判断极限值，再用夹逼定理解决。

判断极限值方法还是通过极限变化趋势。

(\Large 例1:\underset{n\to\infty}{\lim}\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n})

[\begin{equation*} \begin{aligned} \\Large{解：}\ &令原函数通项为f(x)由幂函数变化趋势我们可以得到1^n\le2^n\le3^n\ \ &可以推测出极限值为\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n}=3\ \ &由此可知G(n)=\sqrt[n]{3^n+3^n+3^n}\ge f(x),h(n)=\sqrt[n]{3^n}\le f(x)\ \ &\therefore G(n)\ge\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n}\ge f(x)\ \ &\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n+3^n+3^n}=\lim_{n\to\infty}3^{\frac{n+1}{n}}=3,\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{3^n}=3\ \ &\therefore \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n}=3 \end{aligned} \end{equation*} ]

(\Large 例2:\underset{n\to\infty}{\lim}\sqrt[n]{1^3+2^3+...+n^3})

[\begin{equation*} \begin{aligned} \\Large{解：}\ &令原式通项为f(x),观察题目可知当x\to\infty时,\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^3}=1\ \ &由此可知G(n)=\sqrt[n]{n^3+n^3+...+n^3}=\sqrt[n]{n^4}\ge f(x)\ \ &且h(n)=1\le f(x)\ \ &\therefore G(n)\ge f(x)\ge h(n),\lim_{n\to\infty}G(n)=1,\lim_{n\to\infty}h(x)=1\ \ &即\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^3+2^3+...+n^3}=1 \end{aligned} \end{equation*} ]

总结：

2. 大胆猜想极限值。

3. 小心谨慎求证。

结尾

以上仅仅是三类题型介绍，我们面对问题时还是要具体问题具体分析。如：(\underset{n\to\infty}{\lim}(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+...+\frac{n}{n^2+n+n}))极限。显然此时在两边同时乘(n或n^2)，不能消掉通项。关于这类问题，以后再说。