《周易》中的数学智慧：从八卦到二进制

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《周易》中的数学智慧：从八卦到二进制

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《周易》是中国古代的一部哲学著作，其中的八卦系统不仅体现了深刻的哲学思想，还蕴含着丰富的数学智慧。从简单的阴阳符号到复杂的六十四卦，八卦系统展现了排列组合、等比级数等数学概念，甚至与现代二进制数学有着惊人的相似之处。本文将深入探讨《周易》中的数学思想，以及河图洛书等古代数学符号的奥秘。

《周易》与八卦

《周易》分为《易经》与《易传》两部分。《易经》是周文王写的一部以八卦为演义工具来研究变化方法、变化法则，具有哲学思想萌芽的占卜之书，它文字简古难读，有诸多无法破译的谜题。

《易经》记载了六十四卦，每卦六爻。爻是效仿天地变化的符号。爻又可以解释为“交”，表“易”的变化交错。象征宇宙万物时时都在相互交流、作用，发生关系，产生变化。乾卦另有“用九爻” (多一卦)，坤卦另有“用六爻” (也多一卦），乾卦讲的是一个事物从发生到繁荣的过程，即春生夏长，与坤卦相反，坤卦讲秋收冬藏的过程。讲述六十四卦为“经”，所有这些卦合起来共有386爻(64×6＋2=386)。而《易传》是用来解释《易经》的，有七种十篇。

中国的文化发展与八卦是息息相关的，就连作文、考试、科举都要以八股文章为考核标准。可见八卦对中国文化影响之深。

八卦的形成与笛卡尔坐标系

要了解《周易》的宇宙观，
了解八卦是怎样形成的，
了解从太极到六十四卦的演化，
我们须懂得《周易·系辞》中的一些含义。
易有太极
指阴阳未分，天地混沌时期。太极就是太一，不是数学意义上的一，而是哲学意义的、整体的、绝对的一。太极，是大到极点，物极必反，就会出现分化，故阴阳分离，形成了天和地。
太极生两仪
体现了数的可分性。两仪就是天和地，古人用符号“—”和“— —”分别来表示 “阳爻” （代表天、火、男、白天…）和 “阴爻”（代表地、水、女、黑夜…）
两仪生四象
四象是在两仪一奇一偶之上复生一奇一偶而产生的，它象征着春、夏、秋、冬四季以及东、南、西、北四个方向。
四象分成：
中国人将“笛卡尔直角坐标系”的四个部分称为四个象限，各象限的正、负值完全符合易经中的四象。
在四象之上再生一阴一阳，
就产生第三爻。
以阴阳三爻错综复杂的排列，
最终可得八种卦形：

八卦象征着世界形成了八种基本物质。
八卦与笛卡尔直角坐标系中卦限符号的关系
三个互相垂直的平面将空间分为8个部分，每一个部分我们称他为一个“卦限”，分别对应上述的八个卦象。
众所周知，笛卡三维坐标是一个描述空间结构的数学系统。如果说笛卡三维坐标是用数量科学描述空间结构的数学框架。那么，八卦则是用“范畴对立的矛盾属性”描述时空结构的哲学框架。

八卦中的数学思想

八卦体现出了排列组合的思想
将阳爻与阴爻作为元素：
每次取2个，共有4种不同的取法；
每次取3个，共有8种不同的取法；
… … …
每次取6个，共有64种不同的取法；
… … …
两仪到64卦的排列方法相当数学中的无重复排列:
2¹=2,2²=4,2³=8,...,2⁶=64
六十四卦表现出等比级数观念
及无穷大与无穷小的观念
1, 2, 4, 8, 16,32,64,...,M,...
2⁰,2¹,2²,2³,2⁴,2⁵,2⁶,...2ⁿ,...
即从第二项起，每项和前一项的比值是一常数，即公比。M的发展趋势可无限大，也可无限小：

八卦数学与二进制数学

八卦数学，就是二进制数学。它的最基本概念具有现代二进制数字0、1的数学。
其数量属性特征：表达客观世界的存在与不存在；表达主观世界的肯定与否定。只不过东方文化用“—”和“— —”符号表示，称为爻；西方现代文化用0、1表示，称为数字。
就是这小小的差异，却产生了东西方文化在三个概念上的本质区别：一是量与非量的区别；二是运动与静止的区别；三是属性最低概念与属性最高概念的区别。
鉴于这三种区别的存在，东西方文化的科学发展过程，显然走着并不相同的两条路。可是在数学科学的发展来看，无论是哪种基础理论框架结构上的研究、发展，却出乎预料的得到彼此相同的结果：圆周率、勾股定理、方程、分数与比例计算、空间形体计算、时间的分割与计算、运动速度的计算。
二进制发明者:德国数学家莱布尼兹（1646-1716）在八卦图中悟出了闻名于世的二进制数学。他对八卦图的评价：“易图是流行于宇宙间的科学中最古老的纪念物。”
“《周易》之数学为数学、数字之最高峰，在近代数学中，亦无法与之相比，其最不可思议者即由单一课题，以求奇、偶、阴阳爻之数，而有几百种定律、周期性，包括十进、二进、排列组合、极大极小、可能率等，可云集数学之大成。而成书于三千年前，乃人类至高智慧之表现。又有不可解者，即三、四千年前之中国古人与其他各国古人，何能至此。”（沈宜甲《科学无玄的周易》

河图洛书中的数学神秘

河图洛书，是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为'宇宙魔方'，是中华文化、阴阳五行术数之源。语出易经《易·系辞上》，“河出图，洛出书”，河，黄河。洛，洛水。
秦九韶《数书九章》序中说：“自从河图、洛书出世之后，才揭开了数学的奥秘。”
河图
关于“河出图”相传是伏羲氏得天下，黄河龙马驮了一张图作为礼物献给他。
天数（白）：1、3、5、7、 9
地数（黑）：2、4、6、8、10
天地数之和为55。
① 东西南北都是奇偶（阴阳）数相配，构成天地生成之数。天地数之和为55，八卦中称此数为大衍之数。
② 河图的外层数字6、7、8、9与八卦筮法的6、7、8、9也正好吻合。
③ 在6、7、8、9 四个数中阳爻9与7；阴爻8与6，阴阳爻相配：9+6、 8+6 和都是15，15是一个神秘数字。
洛书
相传大禹治水时，洛水中跃出一头神龟，驮着一张图献给大禹，这张图叫 “洛书”，有数九个，大禹因之以成九畴，为天下大法。“河图”是用青色书写的，“洛书”是用红色书写的“河图”、 “洛书” 后来人研究，由于要用十进制取代二进制计数是很大变革，必须借 “神” 意来推广使用，所以，产生了“河出图”、 “洛出书” 这些美丽的传说。
黄河出现图，洛水出现书，圣人把它们当作天赐，作为治理天下的准则。
白点代表阳：1、3、5、7、9
黑点代表阴：2、4、6、8
数字特色：纵、横、斜相加都是15
15为神秘数字，九宫为九格。
幻方｜九宫图
九宫数字图又叫纵横图，西方人叫它幻方。开始时纯粹是一种游戏，看不出有多大实用价值，在历史上它还夹杂着迷信的色彩。
幻方定义：n阶幻方是由n的平方个不同的整数排列成的方阵，使得沿着任何行、列和主、副对角线的n个数有同样的和。统一的数字称为幻方常数。
近代研究发现，纵横图也就是幻方与组合分析有某种关系，电子计算机技术的迅速发展，给这个古老的题材注入了新鲜的血缘。目前，它在程序设计、图论、人工智能、对策论、组合分析等领域都有广泛的应用。洛书则是幻方的已知的最古老的例子。
“洛书” 译成今天的符号文字便是一个“幻方”，它有三行三列，故称 “三阶幻方”。这个小小幻方中蕴藏着无尽的数字奥秘。