分治法经典例题详解：从二分搜索到汉诺塔

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分治法经典例题详解：从二分搜索到汉诺塔

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CSDN

https://blog.csdn.net/weixin_43723309/article/details/136880686

分治法是一种重要的算法设计策略，它将一个复杂的问题分解成若干个规模较小的子问题，递归地解决这些子问题，最后将子问题的解合并成原问题的解。这种方法在算法设计中有着广泛的应用，特别是在处理大规模数据和复杂计算问题时。本文将介绍分治法在多个经典算法中的应用，包括二分搜索、大整数乘法、Strassen矩阵乘法、棋盘覆盖、合并排序、快速排序、线性时间选择、最接近点对问题、循环赛日程表和汉诺塔等。

1. 二分搜索

二分搜索是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法。搜索过程从数组的中间元素开始，如果中间元素正好是要查找的元素，则搜索过程结束；如果某一特定元素大于或者小于中间元素，则在数组大于或小于中间元素的那一半中查找，而且同样从中间元素开始比较。如果在某一步骤数组为空，则代表找不到。这种搜索算法每一次比较都使搜索范围缩小一半。

2. 大整数乘法

大整数乘法是分治法的一个经典应用，主要用于处理两个非常大的整数相乘的问题。传统的乘法算法的时间复杂度为O(n^2)，而使用分治法可以将时间复杂度降低到O(n^log2(3))。

3. Strassen矩阵乘法

Strassen矩阵乘法是分治法在矩阵乘法中的应用，它通过将矩阵分解成更小的子矩阵，然后递归地计算这些子矩阵的乘积，最后将结果合并。这种方法可以将矩阵乘法的时间复杂度从传统的O(n^3)降低到O(n^log2(7))。

4. 棋盘覆盖

棋盘覆盖问题是一个经典的分治法应用问题。问题描述为：给定一个大小为2^n * 2^n的棋盘，其中有一个方格被标记为特殊方格，要求用L型骨牌覆盖除特殊方格外的所有方格，且任何两个L型骨牌不能重叠。

5. 合并排序

合并排序是一种高效的排序算法，它采用分治法的思想，将数组分成两半，递归地对每一半进行排序，然后将两个已排序的子数组合并成一个有序数组。合并排序的时间复杂度为O(nlogn)。

合并排序的实现步骤：

分解：将待排序元素分成大小大致相同的两个子序列。
治理：对两个子序列进行合并排序。
合并：将排好序的有序子序列进行合并，得到最终的有序序列。

具体过程如下：

首先将待排序的元素分成大小大致相同的两个子序列。
然后把子序列分成大小大致相同的两个子序列，如此下去，直到分解成一个元素为止，这时含有一个元素的子序列就是有序的。
然后执行合并操作，将两个有序的子序列合并为一个有序的序列，如此下去，直到所有元素都合并为一个有序序列为止。

6. 快速排序

快速排序是一种高效的排序算法，它采用分治法的思想，通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分的关键字小，则可分别对这两部分记录继续进行排序，以达到整个序列有序。

快速排序的实现原理：

设置两个变量 i、j，排序开始时：i = 1，j = n
找基准位置，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面，默认序列的第一个数为基准元素，假设为key，先j从右往左试探，直到a[j] < key就停止试探，i从左往右试探，直到a[i] > key就停止试探，如果i < j，就交换a[j]与a[i]；如果i与j相遇，则i或j上的元素与基准元素交换，则这一轮排序结束。此时，基准元素将序列一分为二。
递归调用分界点前和分界点后的子数组排序，重复2.2、2.3的步骤
最终就会得到排序好的数组

例如：6，2，7，3，9，8对这6个数进行从小到大排序

初始时，设数组的第一个元素6为基准，用i指向数组首元素，用j指向数组的最后一个元素，开始扫描。指针j从后往前扫描，直到扫描到一个小于基准6的元素之后，停下。指针i从前往后扫描，直到扫描到一个大于基准6的元素之后，停下。

在达到上图状态的时候，交换元素位置。