微积分之连续性

微积分之连续性

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/qq_41375318/article/details/145298630

第2课：连续性

一、连续性的定义

1. 点的连续性：

函数f(x)在点x=c处连续的定义：

$$
\lim_{x \to c} f(x) = f(c)
$$

也就是说，以下三个条件必须同时满足：

• f(c)定义；
• $\lim_{x \to c} f(x)$存在；
• $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$。

2. 区间的连续性：

如果函数f(x)在某个区间内的每一点都连续，则称f(x)在这个区间上连续。闭区间上的连续性要求函数在端点也满足连续的条件。

二、连续函数的性质

1. 闭区间上连续函数的性质：

• 极值定理：

如果f(x)在闭区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上必定有最大值和最小值。

• 案例：

考虑f(x) = x^2在[0, 2]上连续，最大值是f(2) = 4，最小值是f(0) = 0。

• 介值定理：

如果f(x)在闭区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b) < 0，则f(x)在(a, b)内至少存在一个零点c，使得f(c) = 0。

• 案例：

f(x) = x^3 - x在[-2, 2]上连续，且f(-1) = -2、f(1) = 0。根据介值定理，f(x)必有零点。

三、间断点的分类

1. 间断点的类型：

• 可去间断：

如果$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x)$，但f(c)未定义或不等于极限值。

• 例如，函数f(x) = $\frac{\sin x}{x}$在x = 0处有可去间断。

• 跳跃间断：

如果$\lim_{x \to c^-} f(x) \neq \lim_{x \to c^+} f(x)$。

• 例如，分段函数f(x) = $\begin{cases} 1 & x < 0 \ 2 & x \geq 0 \end{cases}$在x = 0处有跳跃间断。

• 无穷间断：

如果函数在某点的极限为无穷大。

• 例如，f(x) = $\frac{1}{x}$在x = 0处有无穷间断。

四、课堂活动

1. 通过图形展示连续函数和间断函数的区别：

• 案例1：连续函数

f(x) = sin x是连续函数，任意点处极限值等于函数值。

• 案例2：间断函数

分段函数f(x) = $\begin{cases} 1 & x < 0 \ 2 & x \geq 0 \end{cases}$是间断函数，在x = 0处存在跳跃间断。

2. 解决具体的应用问题，使用连续性判断函数行为：

• 案例：求零点

f(x) = x^2 - 4在[1, 3]上连续，且f(1) = -3、f(3) = 5。因此，存在c ∈ (1, 3)，使得f(c) = 0。实际上，c = 2。

绘制图像展示案例

1. 连续函数f(x) = sin x的图像

2. 分段函数f(x) = $\begin{cases} 1 & x < 0 \ 2 & x \geq 0 \end{cases}$的跳跃间断

3. 函数f(x) = $\frac{1}{x}$的无穷间断