中考复习专题：运用角平分线的对称性构造基本图形
中考复习专题：运用角平分线的对称性构造基本图形
角平分线作为平面几何中重要的基本图形，贯穿初中三年图形与几何的学习。角平分线是八年级和九年级系统研究三角形，平行四边形，特殊平行四边形和圆的基础。同样角平分线作为刻画三角形的重要要素，在高中解三角形、平面向量、解析几何等问题中具有重要作用。运用角平分线构造基本图形是常见的问题，涉及的知识面广、方法多、思路活。但是很多学生缺乏在较为复杂的图形中，以角平分线的对称性为切入点构造全等的方法。
角平分线的定义与性质
定义：从角的一个顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
性质：角平分线上一点到角两边的距离相等。
角的对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
角平分线与几何图形的关系
在遇到角平分线时，可以考虑用角平分线的性质或者以角平分线为对称轴，通过翻折三角形，截取或延长线段构造全等三角形转换线段和角。也可以考虑构造等腰三角形转换线段和角。
角平分线问题的分类及分析
（一）构造全等三角形
- 已知角一边的垂线时，可以考虑过角平分线上的点作另一边的垂线段。
例题
如图，已知在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，AD=CD．求证：∠A+∠C=180°。
【分析】
【解答】
练习1：
【分析】
【解答】
- 已知角平分线上一点与一边上一点连线时，可以角平分线所在的直线为对称轴，将三角形进行翻折，截取或延长线段（“截长补短”）构造全等三角形。
例题
如图，已知在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，AD=CD．求证：∠A+∠C=180°。
【方法1】
在BC上截取BE=AB，连接DE.
【分析】
【解答】
【方法2】
延长BA到点E，使BE=BC.
【分析】
【解答】
练习1：
已知在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，∠A+∠C=180°．求证：AD=CD.
【分析】
在角的两边通过“截长补短”构造相等的线段是证明两条线段的和差关系的基本方法。
【方法1】
作DE⊥BA交BA的延长线于点E，DE⊥BA于点F.
【解答】
【方法2】
在BC上截取BE=AB，连接DE.
【解答】
练习2：
在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．
（1）依题意将图1补全；
（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；
想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；
想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF……
请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；
（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．
（二）构造等腰三角形
- 遇见角平分线和垂直，延长垂线，构造等腰“三线合一”的基本图形。
例题
如图，△ABC中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，AB=3，BC=5，点E为AC中点，连接EP，则EP=.
【分析】
遇见角平分线+垂直条件，可以延长垂线，“补短”构造全等三角形，形成“三线合一的基本图形”，形成轴对称关系，从而转换线段和角。
【解答】
练习1：
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：AD=2BE.
【分析】
由题中AD平分∠CAB和BE⊥AD的条件构造“三线合一”的基本图形，构造△AFE≌△ABE（ASA），得到BE=EF转化线段2BE.结合Rt△ABC中AC=BC的条件可以证明△ACD≌△BCF（ASA），从而得到BF=AD证明结论.
【解答】
练习2：
在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，AC=BC，∠ACB=∠ADB=90°，若BE=2AD，则∠ABE= °.
【分析】
类似通过延长AD与BC，结合BE=2AD的条件得到△ACF≌△BCE（ASA），从而形成等腰三角形“三线合一”的基本图形转化角度。
【解答】
练习3：
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，点F在线段AB上，2∠DFA=∠B，AD⊥DF，垂足为D，DF与AC相交于点E，试探究线段AD与EF的数量关系，并证明你的结论。
【分析】
通过作平行线将二倍的角转化，使得DF为∠AFG的角平分线，从而便于构造等腰三角形转化线段，进一步构造了△AMD≌△FME得到结论。
【解答】
- 遇见角平分线，可作角平分线一边的平行线或角平分线的平行线，构造等腰三角形。
例题
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：AD=2BE.
【分析】
由题中AD平分∠CAB的条件，作点D作DG∥AC交AB于点G易证△ADG是等腰三角形，以及∠DAG与∠DBE的度数。再通过等腰三角形三线合一的性质将AD转化为2AH，进一步证明△AHG≌△BED（AAS）得到结论.
【解答】
练习1：
【分析】
过点C作CE∥AD构造等腰三角形转化线段，再结合平行线分线段成比例求解。
【解答】