微积分-导数7（关联变化率）
微积分-导数7（关联变化率）
关联变化率是微积分中导数的一个重要应用，它研究的是两个或多个相关变量随时间变化的速率。通过链式法则，我们可以将一个变量的变化率转换为另一个变量的变化率，从而解决各种实际问题。本文通过五个具体的实例，详细展示了如何使用导数来解决关联变化率问题。
例一：气球膨胀问题
空气被充入一个球形气球中，使其体积以每秒100立方厘米的速度增加。当气球的直径为50厘米时，气球半径的增加速度是多少？
解答：
球体的体积公式为
$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$
为了使用给定的信息，我们对该方程的两边关于t求导。为了对右侧求导，我们需要使用链式法则：
$$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}$$
现在我们求未知量：
$$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4 \pi r^2} \cdot \frac{dV}{dt}$$
如果在该方程中代入r = 25和$\frac{dV}{dt} = 100$，我们得到：
$$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4 \pi (25)^2} \cdot 100 = \frac{1}{25 \pi}$$
例二：梯子滑动问题
一把10英尺长的梯子靠在垂直墙上。如果梯子的底部以每秒1英尺的速度远离墙壁，那么当梯子的底部距离墙壁6英尺时，梯子的顶部以多快的速度沿墙滑下？
解答：
我们首先绘制一个图。设x英尺是梯子底部到墙的距离，y英尺是梯子顶部到地面的距离。注意，x和y都是时间t的函数（时间以秒为单位）。
在这个问题中，x和y之间的关系由勾股定理给出：
$$x^2 + y^2 = 100$$
对每一侧使用链式法则对t进行求导，我们得到
$$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$$
解这个方程得到所需的速度：
$$\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y} \frac{dx}{dt}$$
当x = 6时，由勾股定理可得y = 8，因此，代入这些数值$\frac{dx}{dt} = 1$，我们得到
$$\frac{dy}{dt} = -\frac{6}{8}(1) = -\frac{3}{4} \text{ 英尺/秒}$$
例三：水箱注水问题
一个水箱的形状是倒置的圆锥形，底面半径为2米，高为4米。如果水以每分钟2立方米的速度注入水箱，求当水深为3米时水位上升的速度。
解答：
我们首先绘制圆锥并如图标记。设V、r和h分别为水的体积、表面半径和水的高度，时间t以分钟为单位。
我们知道$\frac{dV}{dt} = 2 \text{ 立方米/分钟}$，要求当h = 3米时的$\frac{dh}{dt}$。V和h的关系由以下公式给出：
$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$
但将V表示为仅关于h的函数更为有用。为了消去r，我们使用图3中的相似三角形写出：
$$\frac{r}{h} = \frac{2}{4} \implies r = \frac{h}{2}$$
则V的表达式变为：
$$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi}{12} h^3$$
现在我们可以对每一侧关于t进行求导：
$$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{4} h^2 \frac{dh}{dt}$$
因此
$$\frac{dh}{dt} = \frac{4}{\pi h^2} \frac{dV}{dt}$$
代入h = 3米和$\frac{dV}{dt} = 2 \text{ 立方米/分钟}$，我们得到：
$$\frac{dh}{dt} = \frac{4}{\pi (3)^2} \cdot 2 = \frac{8}{9\pi}$$
水位上升的速度为$\frac{8}{9\pi} \approx 0.28 \text{ 米/分钟}$。
例四：车辆相遇问题
A车以每小时50英里的速度向西行驶，B车以每小时60英里的速度向北行驶。两车都驶向两条路的交叉口。当A车距离交叉口0.3英里，B车距离交叉口0.4英里时，两车以多快的速度相互接近？
解答：
我们绘制图，其中C是道路的交叉口。在给定的时间t，设x为A车到C的距离，y为B车到C的距离，z为两车之间的距离，x、y和z以英里为单位。
我们知道$\frac{dx}{dt} = -50$英里/小时和$\frac{dy}{dt} = -60$英里/小时（导数为负数，因为x和y随着t的增加而减少）。我们要求$\frac{dz}{dt}$。x、y和z之间的关系由勾股定理给出：
$$z^2 = x^2 + y^2$$
对每一侧关于t进行求导，我们得到
$$2z \frac{dz}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}$$
$$\frac{dz}{dt} = \frac{1}{z} \left( x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} \right)$$
当x = 0.3英里和y = 0.4英里时，勾股定理得出z = 0.5英里，因此
$$\frac{dz}{dt} = \frac{1}{0.5} \left[0.3(-50) + 0.4(-60)\right] = -78 \text{ 英里/小时}$$
两车相互接近的速度为每小时78英里。
例五：探照灯旋转问题
一个人沿着直路以每秒4英尺的速度行走。一个探照灯位于距这条路20英尺的地面上，并始终聚焦在这个人身上。当这个人距探照灯最近点15英尺时，探照灯以多快的速度旋转？
解答：
我们绘制图，并设x为人到路径上离探照灯最近点的距离。我们设θ为探照灯光束与路径垂线之间的角度。
我们知道$\frac{dx}{dt} = 4$英尺/秒，要求当x = 15时的$\frac{d\theta}{dt}$。从图5可以写出x和θ之间的关系：
$$\frac{x}{20} = \tan \theta \implies x = 20 \tan \theta$$
对每一侧关于t进行求导，我们得到
$$\frac{dx}{dt} = 20 \sec^2 \theta \frac{d\theta}{dt}$$
因此
$$\frac{d\theta}{dt} = \frac{\frac{dx}{dt}}{20 \sec^2 \theta}$$
当x = 15时，
$$15 = 20 \tan \theta \implies \tan \theta = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$$
因此
$$\sec \theta = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$$
代入$\frac{dx}{dt} = 4$和$\sec \theta = \frac{5}{4}$，我们得到：
$$\frac{d\theta}{dt} = \frac{4}{20 \left(\frac{5}{4}\right)^2} = \frac{4}{20 \cdot \frac{25}{16}} = \frac{4 \cdot 16}{20 \cdot 25} = \frac{64}{500} = \frac{16}{125} \approx 0.128 \text{弧度/秒}$$
探照灯旋转的速度约为每秒0.128弧度。