假设检验与两类错误

假设检验与两类错误

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/cl2010abc/article/details/137084643

假设检验是统计学中一个重要的概念，用于判断某个假设是否成立。本文将通过具体例子，详细介绍假设检验的步骤、两类错误以及如何计算这些错误。

假设检验的定义

什么是假设检验

首先从一个例子引出假设检验的思想：假设一个盒子装了红白球共100个，张三说里面有99个是白球，现在从盒子中任取一球，结果取出的是红球，问张三的说法对吗？

对于这个问题，我们可以采取如下的思路来解决：先假定张三说的对，那么取出红球的概率 (p(红球) = \frac{1}{100})，也就是一次抽样取出红球是小概率事件，但现在一次抽样抽出红球，与小概率事件实际不符，所以我们认为原来的假定为假，这个盒子中不可能有99个白球。

假设检验先假设总体具有某种特征，例如总体的参数为多少，然后再通过对样本的加工，即构造统计量，推断出假设的结论是否合理。假设检验依据的是小概率思想，即小概率事件在一次试验中基本上不会发生。

假设检验的步骤

下面以一个案例来说明假设检验的步骤：假设某车间用一台包装机包装葡萄糖。已知每袋糖的净重是一个随机变量，且服从标准差为 0.015 kg 的正态分布。某日随机抽取它所包装的9袋糖，称得净重为（kg）：

0.497，0.506，0.518，0.524，0.498，0.511，0.520，0.515，0.512

问每袋糖的净重的均值 (\mu) 是不是0.5kg？

1. 提出原假设与备择假设

本例中原假设和备择假设分别为：(H_0: \mu = 0.5 kg)，(H_1: \mu \neq 0.5 kg)

2. 从所研究总体中出抽取一个随机样本

本例中从总体中随机抽取了9个样本，通过经验我们知道样本的均值 (\overline{X}) 与总体的均值 (\mu) 的差值不会太大，如果相差太大，我们就可以拒绝原假设 (H_0)

3. 构造检验统计量

统计量 (Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\delta/\sqrt{n}})（其中 (\delta) 为总体标准差，(n) 为样本数量）服从标准正太分布。

4. 根据显著性水平确定拒绝域临界值

选择一个阈值 (k)，根据标准正太分布的性质，当 (Z > k) 或 (Z < -k) 时，拒绝原假设 (H_0)，当 (-k <= Z <= k) 时不拒绝原假设 (H_0)。一般阈值的选择是由统计量落在拒绝域的概率确定，它叫做置信水平，用 (\alpha) 表示，一般取值为5%。

5. 计算检验统计量与临界值进行比较

根据抽样的样本，计算出统计量 (Z = \frac{(0.497+0.506+0.518+0.524+0.498+0.511+0.520+0.515+0.512) / 9 - 0.5}{0.015 / 3} = 2.24)

根据5%的置信水平计算出两端的阈值分别是-1.96和1.96，因为 (Z > 1.96)，所以在置信度水平5%的情况下，拒绝原假设 (H_0)，即总体样本的均值不等于0.5kg。

假设检验的相关概念

假设检验的两类错误

• 第一类错误：原假设为真，但我们却拒绝了它，对应假设检验的显著性水平，一般用 (\alpha) 表示。
• 第二类错误：原假设为假，但我们却没有拒绝它，一般用 (\beta) 表示。
• 功效：当原假设为假，我们正确拒绝原假设的概率，它等于 (1 - \beta)。
• p值：当原假设为真时，比所得到的样本观察结果更极端的结果出现的概率，如果 (p < \alpha) 表明原假设发生的概率很小，但却发生了，根据小概率事件，那么拒绝 (H_0)，如果 (p >= \alpha) 表明原假设发生的概率较大，那么不能拒绝 (H_0)。

两类错误的计算

假如有如下假设检验，原假设 (H_0: \mu = 0)，备择假设 (H_1: \mu = 10)，下图所示，该假设检验的置信水平 (\alpha) 为红色横线填充的部分，功效 (\beta) 为蓝色斜线填充的部分。

下面用代码演示下两类错误的计算：

from scipy.stats import norm

if __name__ == '__main__':
    alpha = 0.05
    rv = norm(loc=0, scale=10)
    zright = rv.ppf(1 - alpha)
    power = 1 - norm(loc = 10, scale = 10).cdf(zright)
    beta = 1 - power
    print("power = {:.2f}, beta = {:.2f}".format(power,beta))

运行结果：

power = 0.26, beta = 0.74

本文原文来自CSDN