积分、面积、对称性

积分、面积、对称性

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/m0_37567738/article/details/133104345

积分的含义要从积分符号说起，积分号有加号的意思，$\int_a^b f(x)dx$可以理解为：区间$[a,b]$无限细分为无穷多个$\Delta x$，无穷多个$f(x)$值乘以无穷多个$\Delta x$的累积和。

根据上面的描述，面积可以理解为：$\int_a^b |f(x)|dx$，$dx>0$即$a<b$，积分方向为正向。$f(x)$取绝对值和$dx$的正向是为了保证所有的积分表达式是正值，面积不是矢量，没有方向，是一个标量。

接下来考虑一个问题：“积分值等于被积函数和积分元素$x$(or $y$)之间的面积”，这句话到底对不对呢？不全对。当被积函数的值在积分区间同号时，这句话是对的；当被积函数的值在积分区间不同号时，是错的。这是因为，积分表达式$f(x)dx$有符号！

积分的对称性。假设 $f(x)$ 是偶函数，根据定义则：$f(-x) = f(x)$，$dx$大于0，则
$$
\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx = 2 \int_{-a}^{0} f(x) dx
$$
若$f(x)$是奇函数，根据奇函数的定义：$f(-x) = - f(x)$，则
$$
\int_{0}^{a} f(x) dx =-\int_{0}^{a} f(-x) dx = \int_{0}^{-a} f(t) dt \color{red}(将-x带换为t)\color{black}= -\int_{-a}^{0} f(t) dt
$$
即可得到结论
$$
\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0
$$

明白了这几者的关系，在碰到积分与面积、对称性有关的问题时，就不会犯迷糊了。