【高等数学(上)】期末3小时通关！考点公式全面梳理+考试锦囊（上集）

【高等数学(上)】期末3小时通关！考点公式全面梳理+考试锦囊（上集）

本文是一篇高等数学上册期末复习总结，涵盖了极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数几何应用等多个重要知识点。文章内容详尽，结构清晰，适合正在学习或即将参加高等数学考试的学生阅读。

1. 极限与连续

（一）函数极限

概念

• ①6种x→无穷小和无穷大的情况
• ②无限接近但取不到的动态过程
• ③“不存在”：∞；f(a⁺)≠f(a⁻)；振荡…
• 如eˣ、分段函数间断点处、sinx

性质：唯一性、局部有界、⭐局部保号

无穷小

• 定义：极限为0的变量
• 性质
• ①有界量x无穷小=无穷小
• 如x·sin1/x
• ②"和取低阶”：a+o(a)~a，a→0
• 如a→0，x+3x²~x
• ③1/非零无穷小=∞，1/∞=0
• 比较：①同阶②等价③高阶④k阶
• 同阶=A；等价=1；高阶=0（f=o(g)）；k阶：如x³是x的3阶无穷小

计算（先判断类型：非未定式、未定式）

• 非未定式：直接代入（原理：四则、连续性）
• 0/0型
• ①化简
• 提前求极限不为0的因子
• 如x→0，cosx=1
• 拆项 / 合并
• 看到存在就拆出
• 若拆开后极限都不存在，则不可拆
• 换元：x→x₀，令t=x-x₀→0
• 等价无穷小代换
• 常用等价无穷小
• 整个函数乘除因子可代换（一刀切）
• ②终极
• 洛必达（0/0和∞/∞）
• 泰勒
• ∞/∞型：“抓大头”：洛必达
• x→+∞，lnx << xᵃ << aˣ（a>1）
• 0·∞型：等价代换；“下放”
• 下放：0变成倒数放分母
• x的任何正数次方乘lnx=0
• ∞·∞型：通分；倒代换x=1/t；提公因子
• 提公因子提最高次项
• 1^∞：重要极限；“e的lim往里走，指函数抄一遍再乘底-1”
• 重要极限：x→0，1+▢^1/▢ =e

（二）数列极限

考点1：计算

• 四则、等价代换✓
• n→+∞
• 洛必达X

考点2：定积分定义

• ①提1/n（强行提）
• ②凑i/n
• ③写积分：limΣ记作积分号，i/n记作x，1/n记作dx

考点3：递归数列【难】

• 单调有界准则
• *压缩映射原理

考点4：放缩+夹逼准则求极限【难】

• n→∞ ⁿ√a₁ⁿ +a₂ⁿ +a₃ⁿ =max{aᵢ}

考点5：极限函数f(x)=φ(n,x)（n→∞）

• n→∞，固定x分类讨论

（三）连续与间断

连续：左极限=右极限=函数值

间断点

• 定义：x₀去心邻域有定义+不连续
• 可疑点
• 无定义点（一定是）
• 分段点（可能是）
• 第一类（左右极限都存在）
• 跳跃间断点：左极限≠右极限
• 可去间断点：左极限=右极限≠函数值
• 第二类（左右极限至少有一个不存在）
• 无穷间断点：∞
• 震荡间断点

（四）闭区间上连续函数性质

最值定理：必有最值

有界定理：必有界

• 推广：开区间连续函数+端点有界→有界

介值定理（必胜套路！）

• 把μ放在最小值和最大值之间，f(ξ)=μ
• 设最小值为m，最大值为M
• m≤这个数字≤M，则f(ξ)=这个数字

零点定理

• 条件：①f(x)在[a,b]连续②f(a)f(b)<0
• 结论：存在cE(a,b)，f(c)=0

2. 导数与微分

导数概念

定义

• ①上下一致
• ②定点出现
• ③双侧极限

本质：变化率

几何意义：切线斜率

充要条件：左导数 = 右导数

必要条件：可导必连续

导数计算

• 基本求导公式
• 四则运算法则
• 反函数求导
• “无脑取倒数，无脑换变量”
• 公式：
• 复合函数求导法则
• 链式法则
• 抽象形式符号f'[g(x)]和{f[g(x)]}'
• 隐函数求导：y看作y(x)
• 参数方程求导
• 塞入：/dt
  
• 分段函数求导
• ①各分段区间用公式求导
• ②分端点处
• 法一：用定义（左导、右导，用极限定义式）
• 法二：用公式（书写规范）
• 高阶导数
• 常用公式
• 莱布尼茨公式
• 微分
• 定义：在x₀处，Δy =AΔx+o（Δx）
• AΔx：线性主部→微分dy
• 计算：dy=y'dx

3. 微分中值定理与导数几何应用

微分中值定理

• 费马引理
• 条件：f(x)在可导点x₀处取极值
• 结论：f'(x₀)=0
• 罗尔定理
• 条件：f(x)在①[a,b]连续；②(a,b)可导；③f(a)=f(b)
• 结论：存在ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0
• 【锦囊】如何轻松构造辅助函数？
• ①去分母ξ，移至等号一侧，转换成左边是谁的导数
• ②ξ→x
• ③有乘积求导法则：(uv)'
• 拉格朗日中值定理
• 条件：f(x)在①[a,b]连续；②(a,b)可导
• 结论：存在ξ∈(a,b)，使f(b)-f(a)=f(ξ)(b-a)
• 柯西中值定理
• 条件：f(x)和g(x)在①[a,b]连续；②(a,b)可导；③g'(x)≠0
• 结论：

洛必达法则

泰勒公式

• 带皮亚诺余项
• f(x)在x₀处具有直到n阶的导数
• 带拉格朗日余项
• f(x)在包含x₀的区间(a,b)内有直到n+1阶的导数
• 余项把x₀换成ξ
• 常用麦克劳林公式
• 考点
• 1. 写f(x)的泰勒展开式
• 直接法（求导）
• 拉格朗日余项：二阶泰勒公式：展到二阶，余项三阶
• 间接法（套公式）
• 2. 用泰勒公式求极限
• 原则1：和取低阶
• 原则2：幂次取低
• f(x)±g(x)，f(x)与g(x)同步展开到不抵消最低此项
• 3. 用泰勒公式求高阶导值：由泰勒展开式唯一性
• 系数相同
• 4. 证明题
• 展到几阶？余项几阶？
• x₀与x的选择？
• 展开点x₀：
• ①各阶导数信息多的点
• ②需估计导数值的点
• ③任意点
• ④中点
• 被展开点x：
• ①给定函数值的点
• ②区间断点
• ③任意点
• ④中点

单调性

• 考点
• 1. 利用单调性证明不等式
• 2. 方程根 / 零点 / 交点的个数

极值

• 定义
• 必要条件：f'(x₀）若有，则为0（可导极值点为驻点）
• 充分条件
• 第一：①f(x)在x₀处连续；②f'在x₀两侧反号
• 第二：f’(x₀)=0；f‘'(x₀)≠0
• f''(x₀)<0：极大值点
• f''(x₀)>0：极小值点
• 求最值
• ①找出[a,b]上所有驻点和不可导点
• ②求上述点的值和端点值f(a)，f(b)
• ③其中最大的为最大值，最小的为最小值

凹凸性

• 定义
• 判别法
• 定理1：区间上f'单减，曲线为凸；f'单增，曲线为凹
• 定理2：区间上f''<0，曲线为凸；f''>0，曲线为凹.
• 拐点
• 定义：连续曲线上凹与凸的分界点
• 必要：f''(x₀)若有，则为0（f'无要求）
• 充分
• 第一：①f(x)在x₀处连续；②f''在x₀两侧反号
• 第二：①f''(x₀)=0；②f’''(x₀)≠0
• 推广

求拐点

• ①求f''，找出f''=0和f''不存在的点
• ②检验①中每个点的充分条件

渐近线

• 定义：f(x)无限接近但达不到的直线
• 分类
• 铅直渐近线
• 水平渐近线
• 斜渐近线
• 步骤：铅直、水平、斜
• 斜渐近线快速判断：一次函数

曲率与曲率圆

• 曲率
• 曲率半径：ρ= 1/K
• 曲率圆方程
• 曲率中心
• 曲率圆方程：(x-a)² +(y-β)² =ρ²