摆线与渐开线的参数方程

摆线与渐开线的参数方程

摆线和渐开线是两种常见的曲线，在机械工程、建筑学等领域有着广泛的应用。例如，摆线齿轮可以减少齿轮间的摩擦，提高传动效率；渐开线齿轮则可以保证齿轮传动的平稳性。本文将从数学的角度，介绍这两种曲线的参数方程及其推导过程。

摆线

建立两个平面直角坐标系，一个是固定系(O)，另一个是不定系(O')，二者初始状态完全重合，置于一个半径为(R)的圆，圆上取其一点v(\begin{pmatrix} 0& -R\end{pmatrix}^T)

旋转与平移矩阵——左乘矩阵

矢量u应升级为(\begin{pmatrix} x& y&1\end{pmatrix}^T)

1. 对于固定系(O)而言，矢量u绕(O)顺时针(\theta)的旋转矩阵(R)
   [R=\begin{pmatrix} cos{\theta} & sin{\theta} & 0\ -sin{\theta} & cos{\theta} & 0\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} ]

2. 对于固定系(O)而言，矢量u沿着(x)正方向平移(dx)且沿(y)正方向平移(dy)的平移矩阵(T)
   [T=\begin{pmatrix} 1 & 0 & dx\ 0 & 1 & dy\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} ]

摆线方程推导

摆线：圆沿着直线无滑动旋转，圆上固定一点(二维)所形成的轨迹

对于点(v)升级（三维）为(\begin{pmatrix} 0& -R&1\end{pmatrix}^T)，摆线获取的等价过程：圆绕(O)旋转(\theta)，再沿(y)正方向平移(R)，再沿(x)正方形平移(R\theta)，点(v)形成的轨迹即时摆线

摆线轨迹方程(F:\begin{pmatrix} x& y&1\end{pmatrix}^T)，有(F=TRv)，(\theta∈[0,2\pi])

[\begin{pmatrix} x\ y\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & R\theta\ 0 & 1 & R\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} cos{\theta} & sin{\theta} & 0\ -sin{\theta} & cos{\theta} & 0\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\ -R\1\end{pmatrix} ]

故

[\left{\begin{matrix} x=R(\theta-sin\theta)\ y=R(1-cos\theta) \end{matrix}\right.]

其实第三阶段可以直接推导出参数方程

渐开线

摆线与渐开线的对比：

• 摆线：切线固定，圆无摩擦滚动，圆上固定一点的轨迹

• 渐开线：圆固定，切线无摩擦滚动，切线上固定一点的轨迹

• 二者是对偶的关系

一条直线(BK)在圆上作无摩擦滚动时，直线上任意一点(K)的轨迹称为该圆的渐开线。该圆称为渐开线的基圆，半径用(r_b)表示，直线(BK)称为渐开线的发生线。

显然：

• 1）发生线在基圆上滚过的长度(\overline{BK})等于基圆上被滚过的弧长(\stackrel\frown{AB})，即(\overline{BK} =\stackrel\frown{AB})。

• 2）发生线(BK)是渐开线在(K)点处的法线。

• 3）向径越大，即离基圆圆心越远，渐开线上对应点处的压力角越大。基圆上的压力角等于零。

[\left{\begin{matrix} x=r_b(\phi+\phi \sin\phi)\ y=r_b(\sin \phi-\phi \cos\phi) \end{matrix}\right.]