向量的内积外积与其几何意义
向量的内积外积与其几何意义
向量的内积（点乘）和外积（叉乘）是线性代数中的重要概念，它们不仅在数学理论中占有重要地位，还在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。本文将详细介绍向量内积和外积的定义、计算方法及其几何意义。
一、点乘（内积）
设有向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2)$，它们之间的夹角为 $\theta$，则它们的内积定义为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2
$$
几何意义
- 夹角：由 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ 可知：
- 当内积 $> 0$ 时，$\theta < 90^\circ$
- 当内积 $< 0$ 时，$\theta > 90^\circ$
- 当内积 $= 0$ 时，$\theta = 90^\circ$
同时也可以计算 $\theta$ 的值：$\theta = \arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
- 投影：$|\vec{a}|\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ 表示 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影。
对偶性
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|(|\vec{b}|\cos\theta) = |\vec{b}|(|\vec{a}|\cos\theta)
$$
- $|\vec{a}|(|\vec{b}|\cos\theta)$ 的理解是 $\vec{a}$ 的长度与 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影的乘积；
- $|\vec{b}|(|\vec{a}|\cos\theta)$ 的理解是 $\vec{b}$ 的长度与 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影的乘积；
- 而这两个是相等的。
二、叉乘（外积）
对于三维向量 $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$，它们的外积定义为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
x_1 & y_1 & z_1 \
x_2 & y_2 & z_2 \
\end{vmatrix}
= (y_1z_2 - z_1y_2)\vec{i} - (x_1z_2 - z_1x_2)\vec{j} + (x_1y_2 - y_1x_2)\vec{k}
$$
几何意义
- 如果不把 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ 的具体值带入公式，而是写成 $\vec{a} \times \vec{b} = m\vec{i} + n\vec{j} + l\vec{k}$ 的形式，向量 $(m, n, l)$ 就是一个同时垂直 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的向量，如下图：
- 对于二维向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$ 和 $\vec{b} = (x_2, y_2)$，按照上面的公式得：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \
x_2 & y_2 \
\end{vmatrix} = x_1y_2 - x_2y_1
$$
设这个数值为 $m$，则：
- $|m| = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$（$\theta$ 为 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角）
- $|m|$ 也等于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 构成的平行四边形的面积，如下图：
- 判断向量的相对位置（顺逆时针）
设 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 如下图所示：
如果让 $\vec{a}$ 以最小角度转到 $\vec{b}$ 的方向，是顺时针还是逆时针呢？仍然是 $m = \vec{a} \times \vec{b} = x_1y_2 - x_2y_1$，
- 当 $m > 0$，$\vec{a}$ 逆时针转到 $\vec{b}$ 的角度 $< 180^\circ$
- 当 $m < 0$，$\vec{a}$ 逆时针转到 $\vec{b}$ 的角度 $> 180^\circ$
- 当 $m = 0$，$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 共线
直观记忆如下图：
- $m > 0$，$\vec{b}$ 在蓝色部分；
- $m < 0$，$\vec{b}$ 在红色部分；
- $m = 0$，$\vec{b}$ 在分界线上（与 $\vec{a}$ 共线）。
三、扩展（坐标系引发的顺逆指针分不清事件）
我们平时默认的坐标系是这样的：
但有时候的坐标系是这样的（比如数字图像中）：
可以发现，同样的 $\vec{a} = (2, 1)$ 转到 $\vec{b} = (1, 2)$，在上面的坐标系中就是逆时针，而在下面的坐标系中就是顺时针，所以为了统一说明，定义了 “正旋转” ：从 x 轴旋转到 y 轴的方向。
所以，上面利用向量叉乘判断向量相对位置的性质描述应该为：
- 当 $m > 0$，$\vec{a}$ 正旋转到 $\vec{b}$ 的角度 $< 180^\circ$
- 当 $m < 0$，$\vec{a}$ 正旋转到 $\vec{b}$ 的角度 $> 180^\circ$
- 当 $m = 0$，$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 共线
而那张直观记忆图只在我们平时默认的坐标系中才成立。