深入理解洛必达(L‘Hopital)法则
深入理解洛必达(L‘Hopital)法则
洛必达（L'Hopital）法则对于学过高数的同学们来说并不陌生，甚至在高中就有同学已经用过了洛必达法则，应该是大家公认的求解未定式极限问题的好方法。仅仅会使用是不够的哦，这次我们就来深入理解洛必达法则，做到真正的"洛就完了"！
首先我们知道洛必达法则主要用于解决求解未定式的极限问题，大致上有两种形态：
型和
型，更一般的是，第二种是不需要分子趋于无穷的，只需分母趋于无穷，即
。
【注】
型问题不是说“分子不趋于无穷”，而是“无需判断分子的趋势”。有时，分母很容易地可以判断出趋于无穷，但分子往往比较复杂，直接洛必达就节省了判断分子也趋于无穷的时间。
零比零型
首先我们来看
型的洛必达法则，它的定义为：
①：
，
在
的去心邻域
上可导，
，有
；
②：
，即分子分母都趋于0；
③：
存在或者为
（无穷也是一种特殊的存在）；
则：
下面我们来证明一下
由条件我们可知
，
均可导，可导必连续，即极限值等于函数值，有
，
接着我们在区间
上使用柯西（Cauchy）中值定理，有
，
此时我们把原函数之比的极限问题转化为了导函数之比趋于a的问题，即
最后只需把我们的
换为我们的
即可
至此，我们已经证明了
型洛必达法则。
常数比无穷（无穷比无穷）型
下面我们来证明
型，这个定义和
型的很类似：
①：
，
在
的去心邻域
上可导，
，有
；
②：
；
③：
存在或者为
；
则：
其证明过程并没有
型那么直观，我们先来证明：
为了方便起见，我们把
记为
（
是有限数），根据极限的定义可知，在
的去心邻域
内，恒有
.
由于
在
处的趋势是未知的，我们不能在区间
上直接使用柯西中值定理，因此我们选在子区间
上使用柯西中值定理，有
，
根据上面两个式子，得到：
因为最终的落脚点要在
上，分子分母同时除以
，有
在当我们利用极限的保号性的时候，前提要求极限是存在的，所以这里我们也要证明极限的存在性
利用上下极限
，
根据性质，下极限小于等于上极限，有
综上，得证。
最后我们梳理一下洛必达法则证明的先后关系：
已知导函数
极限的存在性，推出其子列
极限的存在性，根据柯西中值定理得到原函数
极限的存在性。
关于为什么洛必达会失效？
我们举个很典型的反例：
，
我们根据极限的性质算出来了该问题的极限存在且为1，如果用洛必达，则
我们发现该极限不存在，本质是因为
是振荡的，求导往往会改变一个函数的性质，本来连续的函数求导后导函数可能就不连续了（产生振荡间断点），证明过程中我们知道
是
的子列，
是根据柯西中值定理产生的点，
是自变量，联系着整个函数列。既然
震荡就不能得出其子列
的极限存在，也就不能得到
的极限存在，所以洛必达法则失效就是在导函数的震荡间断点处出现的。