级数-阿贝尔定理.收敛值的有效范围

创作时间:

作者:

@小白创作中心

引用

来源

https://cloud.tencent.com/developer/article/2456610

级数的收敛性是数学分析中的一个重要概念，它涉及到级数的求和是否能够得到一个有限的值。在讨论级数的收敛性时，有两个重要的概念：绝对收敛和条件收敛。

定义: 如果一个级数 $\sum a_n$ 的各项的绝对值构成的级数 $\sum |a_n|$ 收敛，那么称原级数 $\sum a_n$ 绝对收敛。
意义: 绝对收敛是一个更强的收敛性质。绝对收敛的级数具有更好的性质，例如，可以任意改变求和顺序而不影响级数的和。
绝对收敛蕴含收敛: 如果一个级数绝对收敛，那么它一定收敛。

定义: 如果一个级数 $\sum a_n$ 收敛，但其绝对值级数 $\sum |a_n|$ 发散，那么称原级数 $\sum a_n$ 条件收敛。
意义: 条件收敛的级数对求和顺序比较敏感。改变求和顺序可能会改变级数的和，甚至可能导致级数发散。
条件收敛的级数对求和顺序敏感: 改变求和顺序可能改变级数的和，甚至可能导致级数发散。

这两个概念适用于所有无穷级数，而不仅仅是幂级数。

幂级数的收敛半径是一个非负实数，它表示一个幂级数能够收敛的最大范围。简单来说，就是以幂级数的展开中心为圆心，收敛半径为半径的圆内（或区间），幂级数都能收敛。

将幂级数的收敛看作一个圆盘，收敛半径就是这个圆盘的半径。在圆盘内部，幂级数收敛；在圆盘外部，幂级数发散；而在圆周上，收敛性是不确定的，可能收敛也可能发散。

只有在收敛区间内，幂级数才能表示一个确定的函数。

其中，$R$ 为收敛半径，$a_n$ 为幂级数的系数。

幂级数想象成一个弹簧：

当我们拉伸弹簧时，在一定范围内，弹簧的形变是可逆的，恢复原状后弹簧的性质不变。但是，如果拉伸过大，弹簧就会变形，甚至断裂。

幂级数也类似，当$x$取值在收敛半径内时，幂级数就像一个“柔顺”的弹簧，可以进行各种变形；但当$x$取值超出收敛半径时，幂级数就变得“僵硬”，无法表示原来的函数了。

收敛半径的存在是由于幂级数本质上是一个无限和，而无限和的收敛性与自变量的取值密切相关。简而言之，收敛半径就是幂级数的“有效范围”。

对幂级数逐项求导，一般情况下不会改变其收敛半径。

阿贝尔定理是关于幂级数在收敛端点处的收敛性的重要定理。设幂级数为：

$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot (x-x_0)^n
$$

其中，$a_n$ 是常数系数，$x$ 是变量，$x_0$ 是展开中心。

如果幂级数在$x=x_0$处收敛，那么它在开区间$(x_0-R, x_0+R)$上绝对收敛，其中$R$是幂级数的收敛半径。
此外，如果幂级数在$x=x_0+R$处收敛，那么它在闭区间$[x_0, x_0+R]$上也收敛。类似地，如果幂级数在$x=x_0-R$处收敛，那么它在闭区间$[x_0-R, x_0]$上也收敛。