从鸡兔同笼到线性代数：解方程组的新视角
从鸡兔同笼到线性代数：解方程组的新视角
从鸡兔同笼问题到线性代数，让我们一起探索数学之美。本文将带你领略线性代数如何为这个古老的数学问题带来全新的视角。
在小学阶段，我们曾经遇到过这样的问题：
鸡兔同笼问题
在一个笼子当中，有若干只鸡和兔子，经过观察发现，有3头8脚，问笼子中一共有多少只鸡，多少只兔子。
在小学阶段，我们会这样想，我们让鸡和兔子都抬起两只脚，这样笼子中着地的脚的数目为8 − 3 × 2 = 2 8-3\times2=28−3×2=2，这两只脚显然都是兔子的，因此兔子只有1只，那么鸡就有2只。
后来，进入中学阶段，我们学习了二元一次方程组，它规范了小学的解法，用数学语言精确地表达出来。根据上面的问题，我们得到这样的方程组：
x + y = 3 2 x + y = 4 \begin{align} x + y &= 3 \ 2x + y &= 4 \end{align}x+y2x+y =3=4
使用消元的方法就能得到：
x = 1 y = 2 \begin{align} x=1\y=2 \end{align}x=1y=2
而事实上，小学阶段的那种方法其实是解二元一次方程组消元方法的通俗解释。
在我们学习了坐标系之后，代数与几何的思想发生了碰撞，我们从解析几何的角度，解释二元一次方程组的解。我们知道，( 1 ) (1)(1)与( 2 ) (2)(2)其实是直线方程，而两条直线的交点既满足直线( 1 ) (1)(1)，也满足直线( 2 ) (2)(2)，交点的横纵坐标就是方程组的解。
利用这种思想，我们可以利用平面几何解释二元一次方程组的解，利用立体几何解释三元一次方程组的解。然而，由于我们并不知道四维甚至更高维空间是什么样子，这种思路的局限性也就体现出来了，而传统的解法又过于繁琐，我们是否能从更好的角度看待这个问题呢？
当我们接触线性代数后，我们发现，有新的工具，新的思路帮我们解决这个问题。许多线性代数的书也是从线性方程组的解开始谈起的。
我们将( 1 ) ( 2 ) (1)(2)(1)(2)写成矩阵的形式：
[ 1 1 2 1 ] [ x y ] = [ 3 4 ] A B = C \begin{bmatrix} 1 & 1\2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3\4 \end{bmatrix}\AB=C[12 11 ][xy ]=[34 ]AB=C
我们可以这样理解，一个向量在一个线性变换的作用下，得到了另一个向量。
我们要求B BB，可以这样处理，左右同时左乘A − 1 A^{-1}A−1，得到B = C A − 1 B=CA^{-1}B=CA−1，也就是下图的过程：
点D DD在逆变换的作用下变成了点( 1 , 2 ) (1,2)(1,2)，于是我们得到：
B = [ 1 2 ] B=\begin{bmatrix} 1\2 \end{bmatrix}B=[12 ]
这个问题可以这样看，找到1个点( x , y ) (x,y)(x,y)，使得其在线性变换后，变成( 3 , 4 ) (3,4)(3,4)。
那么从这个角度又如何解释方程组无解或者无穷多解的情况呢？
我们先来看无解的情况：
矩阵A 1 = [ 1 2 2 4 ] [ 1 2 2 4 ] [ x y ] = [ 3 4 ] A_{1}=\begin{bmatrix} 1 & 2\2 &4 \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} 1 & 2\2& 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\4 \end{bmatrix}A1 =[12 24 ][12 24 ][xy ]=[34 ]对应的线性方程组显然是无解的，在二维平面直角坐标系中解释这一现象，两条直线平行，没有交点。
同时，我们发现，在矩阵A 1 A_{1}A1 所对应线性变换的作用下，整个二维平面空间被压缩成一条直线。
也就是说，原平面中所有的点都被压缩到这条直线上，点( 3 , 4 ) (3,4)(3,4)并不在直线上，找不到一个点( x , y ) (x,y)(x,y)经过线性变换变成点( 3 , 4 ) (3,4)(3,4)，原线性方程组无解。
我们再来看无穷多解的情况：
B 1 = [ 1 2 2 4 ] [ 1 2 2 4 ] [ x y ] = [ 3 6 ] B_{1}=\begin{bmatrix}1 &2\2&4 \end{bmatrix}\\begin{bmatrix}1&2\2&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\6 \end{bmatrix}B1 =[12 24 ][12 24 ][xy ]=[36 ]
在二维平面直角坐标系中看，两条直线重合，有无数个交点，自然就有无穷多个解。
从线性变换的角度，整个空间的点都被压缩到一条直线上，而点( 3 , 6 ) (3,6)(3,6)正好就在这条直线上。
那么什么样的点经过线性变换到达E EE点？
我们发现，只要该点位于直线x + 2 y = 3 x+2y=3x+2y=3上，在经过线性变换后，就能得到E EE点，这样的点有无穷多个，因此，解有无穷多个。
由此看来，线性代数的发展使得我们看问题的角度上升了一个层次。在数学中，我们一直在寻找全新的体系，它既能解释我们过去所发现的一切，又能给我们带来更多全新的角度去发现问题，解决问题。