不会做题？基本不等式「进阶方法」全梳理！

不会做题？基本不等式「进阶方法」全梳理！

基本不等式进阶方法

1. 和积式、非齐次式齐次式复习

• 非齐次式：分子复杂化通分拆分子变齐次式
• 二次项比一次性换元
• 齐次式：同除以某数、换元、变为1个变量

2. 一题多变

• （1）和积求最小值：直接算
• （2）凑齐次式
• 1的代换，出现齐次式，求最值
• （3）将已知的式子变形，得a+b=ab
• 思路：变为平方和，a+b=ab代换
• 分子分母同除以ab凑非齐次式
• （4）将已知式子因式分解，得（a-1)(b-1）=1
• 换元法，令a-1=m，b-1=n

3. 技巧1---换元法

• （1）换元法，则y²=m²-2，和积式
• （2）换元法，则x=m-1，y=1/2（n-m+1）
• 1的代换、凑齐次式

tip1：乘积、分母较复杂时关联换元法

4. 技巧2---凑齐次式

• （1）分子复杂，化简
• 1的代换、凑出齐次式、基本不等式
• （2）根据已知等式、1的代换
• x=x(x+y) 、1=(x+y)²（保证次数相同）
• 化简整理，同除以xy，凑出齐次式

tip2：分子、分母次数相同关联齐次式
出现常数时，根据已知凑出相同次数

5. 技巧3---强行消元

• （1）已知x、y关系式，相互表示，带入原式
• （2）已知a、b关系式，相互表示，带回原式
• 分子、分母次数不同，关联非齐次式
• 分母复杂，利用换元表示分子，再代入分母
• 化简完后，同除以m，出现非齐次式

tip3：已知两个变量等式，相互表示带回原式
上下次数相同则齐次式，不同则非齐次式

6. 技巧4---多次利用不等式

• （1）第一次利用基本不等式消掉a
• 第二次基本不等式消掉b找最小值
• 验证可以取等的情况
• （2）使用两次基本不等式
• 分子分母不相同，关联非齐次式
• 第一次：将和变成积，拆分子，出现非齐次式
• 小练习：整式=两分式的和
• ※※（3）3个变量，无已知，3次不等式
• 突破口1：-10ac，25c²，关联平方和
• 突破口2：a²=ab+a（a-b）=ab+a²-ab

tip4：【1】关于使用几次基本不等式判断：
2个变量、2个方程、无已知,使用2次不等式
3个变量、3个方程、1个题目已知,+2次不等式
3个变量、3个方程、无已知,使用3次不等式

【2】关联和积式、齐次式、非齐次式