深度学习的数学原理：复杂函数求导与近似公式
深度学习的数学原理：复杂函数求导与近似公式
深度学习作为人工智能领域的核心技术，其背后的数学原理一直是研究者和学习者关注的重点。本文将深入探讨深度学习中复杂函数求导的链式法则以及多变量函数的近似公式，帮助读者更好地理解深度学习的数学基础。
前言
在前文中，我们已经对导数和偏导数有了基本的概念，并能够进行简单的计算。本文将在此基础上，重点介绍单变量和多变量复合函数的求导方法，以及函数近似公式的计算。
正文
复杂函数求导
如果一个函数比较复杂，无论是用公式计算还是用导数的定义直接计算，都可能比较麻烦。因此，书中介绍了关于复合函数的快速求导方法，这实际上就是高中数学中学习过的链式法则。
神经网络中的复合函数
在神经网络中，一个常见的复合函数形式如下：
其中，w1, w2, …, wn为各输入对应的权重，b为神经单元的偏置。输出函数是如下的x1, x2, …, xn的一次函数f和激活函数a的复合函数。
可以把这个函数看作两个函数的复合函数：
- y = f(u)
- u = g(x)
其导数可以依照下方所示的公式进行计算：
仅看公式可能不太直观，下面通过一个具体的例子来说明：
多变量函数链式法则
对于多变量函数的偏导数求导，也有一个链式法则。例如，如果变量z是u、v的函数，而u、v又是x、y的函数，那么z可以看作是x、y的函数。在这种情况下，z关于x的偏导数可以通过以下步骤计算：
- 先计算z关于u和v的偏导数
- 再计算u和v关于x的偏导数
- 最后将这些偏导数相乘并求和
具体公式如下：
函数的近似公式
函数的近似公式在深度学习中具有重要作用，特别是在梯度下降法中。通过近似公式，可以减少计算机的计算量，提高算法的效率。
单变量函数的近似公式
根据导数的定义，当Δx趋近于0时，可以得到单变量函数的近似公式：
这个公式可以用来近似计算函数在某一点附近的值。例如，当f(x)=ex时，可以求得x=0附近的近似公式：
在图形上，这意味着当x=0时，e^x与1+x的结果非常接近：
多变量函数的近似公式
对于多变量函数，其近似公式可以表示为：
这个公式可能比较好理解，但是不大好推导，x和y分别变化一个较小的数，其结果与 f(x, y) + x的偏导数Δx + y的偏导数Δy 近似相同
可以通过书中的一个例子来理解这个公式
举个例子：当z=e^(x+y)时，求x=y=0附近的近似公式
按照公式，不难得出
f(x+Δx, y+Δy) = e^(x+y) + e^(x+y)*Δx + e^(x+y)Δy = e^(x+y)(1+Δx+Δy)
带入 x+y = 0，并将 Δx 换为 x ，Δy 换成 y 即可
1 + x + y
书中还提到了简化多变量函数近似公式的方法，首先有个 Δz 定义为x和y同时进行一个很小的变化与原函数值的差值
那么根据公式以及上述定义进行一下变换，可以得到
再对变量数量进行推广
有没有很眼熟，是不是很像向量的内积，所以书中又提到了这个公式可以用向量内积的形式体现
总结
本文主要介绍了单变量和多变量复合函数求导的链式法则，以及单变量和多变量函数的近似公式及其向量内积表示。这些内容是理解梯度下降法等优化算法的基础，对于深入学习深度学习具有重要意义。